Question

在紙上寫著一列自然數(shù)1，2，…，98，99．一次操作是指將這列數(shù)中最前面的三個(gè)數(shù)劃去，然后把這三個(gè)數(shù)的和寫在數(shù)列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．這樣不斷進(jìn)行下去，最后將只剩下一個(gè)數(shù)，最初的99個(gè)數(shù)連同后面寫下的數(shù)，紙上出現(xiàn)的所有數(shù)的總和是

25128

．

Answer 1

分析：我們把99個(gè)數(shù)都用完，叫做第一輪．第一輪共進(jìn)行了33次操作．
余下的數(shù)列為：6，15，24，33，…，294．-----------（1）
這個(gè)數(shù)列（1）是以6為第一項(xiàng)，9為公差，共33項(xiàng)的等差數(shù)列．
現(xiàn)在我們?cè)谶M(jìn)行第二輪操作之前，
把數(shù)列（1）的最后三項(xiàng)寫出來(lái)就是：276，285，294．其和為285×3=855．
余下的數(shù)列為：45，126，207，…，855．----（2）
這個(gè)數(shù)列（2）是以45為第一項(xiàng)，81為公差，共11項(xiàng)的等差數(shù)列．
把數(shù)列（2）的前三項(xiàng)之和（126×3=378）補(bǔ)充在（2）的最后一項(xiàng)855的后面，湊成三的倍數(shù)，12項(xiàng)．于是出現(xiàn)了下面的數(shù)列：
45，126，207，…774，，855，378．----------（3）
第三輪，數(shù)列（3）剛好可以劃掉4組．所以在378的后面有且只有3個(gè)數(shù)．
在378的后面，就是（288+369+450）=1107，（531+612+693）=1836，774+855+378=2007；
進(jìn)行最后一輪，可以知道是1107+1836+2007=4950，，就是最后劃掉三個(gè)數(shù)剩下的唯一一個(gè)數(shù)．
然后把所有的數(shù)列的和加起來(lái)，就是所有數(shù)的總和．

解答：解：根據(jù)分析可知原來(lái)的數(shù)列的和是（1+99）×99÷2=4950；
第一輪后的和是：（6+294）×33÷2=4950；
第二輪后的和是：（45+855）×11÷2+378=4950+378；
第三輪后的和是：1107+1836+2007=4950；
最后一輪只有一個(gè)數(shù)，就是4950；
那么所有的數(shù)的和就是：4950+4950+4950+378+4950+4950=4950×5+378=25128；
故填：25128．

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題是應(yīng)該具備的基本能力．