Question

在紙上寫(xiě)著一列自然數(shù)1，2，…，98，99．一次操作是指將這列數(shù)中最前面的三個(gè)數(shù)劃去，然后把這三個(gè)數(shù)的和寫(xiě)在數(shù)列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．這樣不斷進(jìn)行下去，最后將只剩下一個(gè)數(shù)，則最后剩下的數(shù)是

4950

．

Answer 1

分析：在紙上寫(xiě)著一列自然數(shù)1，2，…，98，99．一次操作是指將這列數(shù)中最前面的三個(gè)數(shù)劃去，然后把這三個(gè)數(shù)的和寫(xiě)在數(shù)列的最后面．前99的數(shù)劃了33次，作為第一輪，得到了33個(gè)數(shù)，6，15，24，33，…，294．-----------（1）這個(gè)數(shù)列（1）是以6為第一項(xiàng)，9為公差，共33項(xiàng)的等差數(shù)列，這33個(gè)數(shù)的和也是第一輪99個(gè)數(shù)的和；繼續(xù)劃，11次后這33個(gè)數(shù)又劃去了，得到
11個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)列（2）是以45為第一項(xiàng)，81為公差，共11項(xiàng)的等差數(shù)列，作為第二輪，這11個(gè)數(shù)的和=第二輪這33個(gè)數(shù)的和=第一輪99個(gè)數(shù)的和；第三輪，是11÷3=3…2，這
11個(gè)數(shù)劃3次得3個(gè)新數(shù)，先劃余下的兩個(gè)數(shù)774、855和第一個(gè)新數(shù)378，這3個(gè)新數(shù)的和與劃余下的2個(gè)數(shù)的和=第三輪開(kāi)始的11個(gè)數(shù)的和=第二輪這33個(gè)數(shù)的和=第一輪99個(gè)數(shù)的和；第四輪，與原來(lái)的2個(gè)和在一起5個(gè)數(shù)，5÷3=1…2，得一個(gè)新數(shù)，和第四輪余下的2個(gè)數(shù)的和=第四輪開(kāi)始時(shí)的5個(gè)數(shù)的和=第三輪開(kāi)始的11個(gè)數(shù)的和=第二輪這33個(gè)數(shù)的和=第一輪99個(gè)數(shù)的和；第五輪，上次得1個(gè)新數(shù)和余下的2個(gè)，正好3個(gè)，一次劃完，得到一個(gè)數(shù)，不能再劃，這個(gè)數(shù)=第五輪開(kāi)始的5個(gè)數(shù)的和=第四輪開(kāi)始時(shí)的5個(gè)數(shù)的和=第三輪開(kāi)始的11個(gè)數(shù)的和=第二輪這33個(gè)數(shù)的和=第一輪99個(gè)數(shù)的和，最后的這一個(gè)數(shù)就是1+2+3+4…+99，利用高斯求和法可得解．
即：（1+2+3）+（4+5+6）+（7+8+9）+（10+11+12）+（13+14+15）+（16+17+18）+（19+20+21）+…+（91+92+93）+（94+95+96）+（97+98+99）
=（6+15+24）+（33+42+51）+（60+69+78）+（87+96+105）+（114+123+132）+（141+150+159）+（168+177+186）+（195+204+213）+（222+231+240）+（249+258+267）+（276+285+294）
=774+855+（45+126+207）+（288+369+450）+（531+612+693）
=1107+1836+（774+855+378）
=（1107+1836+2007）
=4950．

解答：解：1+2+3+4+…+99
=（1+100）×（100÷2）-100
=101×50-100
=5050-100
=4950
答：最后剩下的數(shù)是4950．
故答案為：4950．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了數(shù)列中的規(guī)律．關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)最后只剩一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是1到99的和．