Question

在一個兩位數(shù)的十位與個位數(shù)字之間插入一個數(shù)字0，得到一個三位數(shù)（例如21變成了201），結(jié)果這個三位數(shù)恰好能被原來的兩位數(shù)整除．請問：所有滿足條件的兩位數(shù)之和是多少？

Answer 1

考點：數(shù)字和問題

專題：整除性問題

分析：①設(shè)這樣的兩位數(shù)的十位數(shù)字為A，個位數(shù)字為B，由題意依據(jù)數(shù)的組成知識，可知100A+B能被10A+B整除；
②因為100A+B=90A+（10A+B），由數(shù)的整除性質(zhì)可知90A能被10A+B整除．而90A=2×3²×5×A，A的取值范圍是1至9這9個數(shù)字．利用窮舉法即可推出符合條件的兩位數(shù)．

解答： 解：設(shè)這樣的兩位數(shù)的十位數(shù)字為A，個位數(shù)字為B，由題意依據(jù)數(shù)的組成知識，可知100A+B能被10A+B整除．
因為100A+B=90A+（10A+B），由數(shù)的整除性質(zhì)可知90A能被10A+B整除．
因為90A=2×3²×5×A，根據(jù)A的取值，可以列舉出所有符合題意的兩位數(shù)如下表所示：

由上述列舉可得，符合條件的兩位數(shù)分別是：
10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，90
10+15+18+20+30+40+45+50+60+70+80+90
=（10+90）+（20+80）+（30+70）+（40+60）+50+15+45+18
=450+60+18
=528
答：所有滿足條件的兩位數(shù)之和是528．

點評：此題是利用字母表示數(shù)，抓住整除的性質(zhì)進行推理得出90A能被10A+B整除，從而利用窮舉法得出所有符合題意的兩位數(shù)．