Question

我們把“n個相同的數(shù)a相乘”記為“aⁿ”，例如2³=2×2×2=8．
（1）計算：2⁹=

512

，5⁵=

3125

．
（2）觀察以下等式：
（x-1）×（x+1）=x²-1
（x-1）×（x²+x+1）=x³-1
（x-1）×（x³+x²+x+1）=x⁴-1
…
由以上規(guī)律，我們可以猜測（x-1）×（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=

xⁿ⁺¹-1

．
（3）計算：3²⁰¹¹+3²⁰¹⁰+…+3+1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)乘方的運算法則計算即可；
（2）根據(jù)給出的材料可看出，等號右邊x的指數(shù)規(guī)律是n+1，所以（x-1）×（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1．
（3）運用（2）的規(guī)律計算即可求解．

解答：解：（1）計算：2⁹=512，5⁵=3125．

（2）（x-1）×（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1．

（3）3²⁰¹¹+3²⁰¹⁰+…+3+1，
=（3²⁰¹²-1）÷（3-1），
=

32012-1

2

．
故答案為：512，3125；xⁿ⁺¹-1．

點評：本題主要考查了數(shù)學歸納整理的能力，解題的關鍵要分析材料找到題目中規(guī)律從而由特殊例子總結出一般規(guī)律．