Question

如圖，在△ABC中，AB=11cm，AC=9cm．首先，在BC邊上，取點H使么∠BHA=90°；然后在BC邊上，在H與C之間取點D，使么BAD=60°；這樣，∠DAC是∠HAD的2倍．請問，這時BH的長度是CH長度的幾倍？

Answer 1

分析：延長CA到E，使得AE=AB，連接BE，作AF⊥BE與F，易知∠BEA=∠EBA=∠ABH=30°+α，則直角三角形AFB和直徑三角形AFE和直角三角形AHB全等，設三角形ABC的面積為1，則三角形ABE的面積為

11

9

，所以三角形AFB的面積等于三角形ABE的面積的一半，等于

11

18

，也就是三角形ABH的面積等于

11

18

，所以三角形ACH的面積等于1-

11

18

=

7

18

，所以三角形ABH的面積與三角形ACH的面積比是：

11

18

：

7

18

=

11

7

，由此得出這時BH的長度是CH長度的幾倍．

解答：解：延長CA到E，使得AE=AB，連接BE，作AF⊥BE與F，
因為∠BHA=90°，∠BAD=60°，
∠DAC是∠HAD的2倍，
所以∠BEA=∠EBA=∠ABH=30°+α，
則直角三角形AFB和直徑三角形AFE和直角三角形AHB全等，
設三角形ABC的面積為1，則三角形ABE的面積為

11

9

，
所以三角形AFB的面積等于三角形ABE的面積的一半，等于

11

18

，
也就是三角形ABH的面積等于

11

18

，
所以三角形ACH的面積等于1-

11

18

=

7

18

，
所以三角形ABH的面積與三角形ACH的面積比是：

11

18

：

7

18

=

11

7

，
所以BH的長度是CH長度的

11

7

倍；
答：BH的長度是CH長度的

11

7

倍．

點評：關(guān)鍵是作出輔助線，利用三角形的高一定時，三角形底的比等于面積的比．