Question

不大于100的自然數(shù)中，有多少個數(shù)只有8個約數(shù)？

Answer 1

考點(diǎn)：約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理

專題：整除性問題

分析：因?yàn)?=2×2×2，所以要求的自然數(shù)可能是一個質(zhì)數(shù)和另一個質(zhì)數(shù)的三次方相乘，也可能是三個不同質(zhì)數(shù)相乘或者是一個質(zhì)數(shù)的7次方；第一種情況有5個數(shù)：2³×3=24，2³×5=40，2³×7=56，2³×11=88，3³×2=54；第二種情況有5個數(shù)：2×3×5=30，2×3×7=42，2×3×11=66，2×3×13=78，2×5×7=70；第三種情況最小的是2⁷=128＞100，所以滿足條件的數(shù)一共有24，30，40，42，54，56，66，70，78，88這10個數(shù)，據(jù)此解答即可．

解答： 解：因?yàn)?=2×2×2，
所以要求的自然數(shù)可能是一個質(zhì)數(shù)和另一個質(zhì)數(shù)的三次方相乘也可能是三個不同質(zhì)數(shù)相乘或者是一個質(zhì)數(shù)的7次方；
第一種情況有5個數(shù)：2³×3=24，2³×5=40，2³×7=56，2³×11=88，3³×2=54；
第二種情況有5個數(shù)：2×3×5=30，2×3×7=42，2×3×11=66，2×3×13=78，2×5×7=70；
第三種情況最小的是：2⁷=108＞100，因此不可能是一個質(zhì)數(shù)的7次方．
所以滿足條件的一共有10個數(shù)：24，30，40，42，54，56，66，70，78，88．
答：不大于100的自然數(shù)中，有10個數(shù)只有8個約數(shù)．

點(diǎn)評：此題主要考查了約數(shù)的個數(shù)問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：要求的自然數(shù)可能是一個質(zhì)數(shù)和另一個質(zhì)數(shù)的三次方相乘也可能是三個不同質(zhì)數(shù)相乘或者是一個質(zhì)數(shù)的7次方．