Question

M、N是互為反序的兩個三位數(shù)，且M＞N．請問：
（1）如果M和N的最大公約數(shù)是7，求M； 
（2）如果M和N的最大公約數(shù)是21，求M．

Answer 1

考點：公約數(shù)與公倍數(shù)問題,位值原則

專題：整除性問題

分析：設M=abc，N=bca，則M-N=100a+10b+c-（100c+10b+a）=99a-99c=99（a-c）；
（1）因為M和N的最大公約數(shù)是7，所以M與M-N的最大公約數(shù)也是7，可得99（a-c）是7的倍數(shù)，所以a-c=7，解得

a=9 c=2

或

a=8 c=1

，所以M=9b2或M=8b1，然后根據(jù)是7的倍數(shù)的特征：若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除，求出b的值，進而求出M的值即可；
（2）同（1），可得M=9b2或M=8b1，它是21的倍數(shù)，所以它即是7的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，然后根據(jù)是7、3的倍數(shù)的特征，求出b的值，進而求出M的值即可．

解答： 解：設M=abc，N=bca，則M-N=100a+10b+c-（100c+10b+a）=99a-99c=99（a-c）；
（1）因為M和N的最大公約數(shù)是7，
所以M與M-N的最大公約數(shù)也是7，
可得99（a-c）是7的倍數(shù)，
所以a-c=7，
解得

a=9 c=2

或

a=8 c=1

，
M=9b2或M=8b1，M是7的倍數(shù)，
①當M=9b2時，
可得90+b-4=86+b是7的倍數(shù)，
此時b=5，M=952；
②當M=8b1時，
可得80+b-2=78+b是7的倍數(shù)，
此時b=6，M=861，N=168，
因為861、168的最大公約數(shù)是21，
所以不符合題意，舍去；
綜上，如果M和N的最大公約數(shù)是7，則M=952；

（2）同（1），可得M=9b2或M=8b1，它是21的倍數(shù)，
所以它即是7的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，
解得M=861，N=168．
所以如果M和N的最大公約數(shù)是7，則M=861．

點評：此題主要考查了公約數(shù)與公倍數(shù)問題的應用，解答此題的關鍵是判斷出：M與M-N的最大公約數(shù)也是7．