Question

試找出兩個相鄰的自然數，使得每個數的各位數字之和都能被2006整除．這兩個相鄰的自然數是

 

和

 

．

Answer 1

考點：整除性質

專題：整除性問題

分析：設這兩個相鄰的自然數是a和a+1，首先判斷出a的最后一個數一定是9；既然a的末位數字是9，a+1就會進位，若有b次進位，可得a+1各位數字和比a的各位數字和少9b-1，
2006÷9=223…1，因此a有223個9，其和為2007，前面的各位數字和是2005，并且從后數第224為小于9（這一位不能產生進位現象了），進而求出這兩個相鄰的自然數是多少即可．

解答： 解：設這兩個相鄰的自然數是a和a+1，
①如果a的最后一個數不是9，
則a+1的各位數字之和=a的各位數字之和+1，
兩者一個是偶數，一個是奇數，不可能同時被2006同時整除，
因此a的最后一個數一定是9；
②既然a的末位數字是9，a+1就會進位，
若有b次進位，可得a+1各位數字和比a的各位數字和少9b-1，
2006÷9=223…1，
因此a有223個9，其和為2007，前面的各位數字和是2005，并且從后數第224為小于9（這一位不能產生進位現象了），
所以這兩個相鄰的自然數是：

11…1

2005個

99…99

223個

和

11…1

2004個

2

00…0

223個

．
故答案為：

11…1

2005個

99…99

223個

、

11…1

2004個

2

00…0

223個

．

點評：此題主要考查了整除的性質的應用，解答此題的關鍵是首先判斷出較小的自然數的末位數字是9．