Question

20．觀察算式
①$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{2×3}-\frac{2}{2×3}=\frac{1}{2×3}$；   
②$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{3×4}-\frac{3}{3×4}=\frac{1}{3×4}$
③$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{4×5}$； 
④$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{5×6}$…
由此可知：如果A、B為兩個(gè)相鄰的自然數(shù)，那么$\frac{1}{A}-\frac{1}{B}$=$\frac{1}{（）}$根據(jù)規(guī)律試求$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{99×100}$=$\frac{49}{100}$；
如果延伸這種規(guī)律也可求：$\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+…+\frac{1}{97×99}$=$\frac{16}{99}$．

Answer 1

分析 觀察$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{2×3}-\frac{2}{2×3}=\frac{1}{2×3}$；$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{3×4}-\frac{3}{3×4}=\frac{1}{3×4}$；可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩個(gè)相鄰自然數(shù)（0除外）的積的倒數(shù)等于較小的自然數(shù)的倒數(shù)與較大的自然數(shù)的倒數(shù)的差，即$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n為不等于0的自然數(shù)），據(jù)此規(guī)律，算式$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{99×100}$中的每個(gè)加數(shù)都可以拆分成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，然后進(jìn)行計(jì)算即可；兩個(gè)間隔自然數(shù)（0除外）的積的倒數(shù)等于較小的自然數(shù)的倒數(shù)與較大的自然數(shù)的倒數(shù)的差的一半，即$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）（n為不等于0的自然數(shù)），據(jù)此規(guī)律，算式$\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+…+\frac{1}{97×99}$中的每個(gè)加數(shù)都可以拆分成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差的$\frac{1}{2}$，然后進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{99×100}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{100}$
=$\frac{49}{100}$
$\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+…+\frac{1}{97×99}$
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{97}$-$\frac{1}{99}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{99}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{32}{99}$
=$\frac{16}{99}$
故答案為：$\frac{49}{100}$；$\frac{16}{99}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分?jǐn)?shù)的巧算，關(guān)鍵是能從特殊情況發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n為不等于0的自然數(shù)），并應(yīng)用規(guī)律解決問題．