Question

已知1×2×3×4×5×6×…×n的末尾有連續(xù)100個(gè)0，那么n最小是多少？

Answer 1

分析：5×2=10，提供一個(gè)0，在1、2、3、4、5…n，在這些正整數(shù)中以2為約數(shù)的數(shù)即偶數(shù)很多，但是以5為約數(shù)的數(shù)是有限的，只要提供一個(gè)約數(shù)5，即可得到一個(gè)0，如：5、10、15、20、
25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100、105、110、…含一個(gè)約數(shù)5的可提供一個(gè)0，是一個(gè)以5為等差的等差數(shù)列，1×2×3×4×5×6×…×n的末尾有連續(xù)100個(gè)0，100×5=500，假設(shè)n=500；其中可提供兩個(gè)約數(shù)5的則可提供兩個(gè)0，如：25=5×5，25×4=100，這樣的數(shù)是25的倍數(shù)，有：25、50、75、100、125、…是以25為等差的等差數(shù)列，到500有500÷25=20，則在500內(nèi)多提供了20個(gè)0；其中可提供三個(gè)約數(shù)5的則可提供三個(gè)0，如125=5×5×5，125×8=1000，這樣的數(shù)在500內(nèi)有125、250、375三個(gè)數(shù)，又多提供3個(gè)0；則可以用500減去（20+3）個(gè)可以提供約數(shù)5的數(shù)字，400到500間提供一個(gè)5的約數(shù)（500-400）÷5=20，提供2個(gè)約數(shù)的數(shù)：（500-400）÷25=4，提供3個(gè)約數(shù)5的沒有，所以，在400到500內(nèi)只要有一個(gè)提供約數(shù)5的就可以了．那么n最小是405．

解答：解：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100、105、110、…含一個(gè)約數(shù)5的可提供一個(gè)0，是一個(gè)以5為等差的等差數(shù)列，1×2×3×4×5×6×…×n的末尾有連續(xù)100個(gè)0，100×5=500，假設(shè)n=500；
其中可提供兩個(gè)約數(shù)5的則可提供兩個(gè)0，如：25=5×5，25×4=100，這樣的數(shù)是25的倍數(shù)，有：25、50、75、100、125、…是以25為等差的等差數(shù)列，到500有500÷25=20，則在500內(nèi)多提供了20個(gè)0；
其中可提供三個(gè)約數(shù)5的則可提供三個(gè)0，如125=5×5×5，125×8=1000，這樣的數(shù)在500內(nèi)有125、250、375三個(gè)數(shù)，又在可提供兩個(gè)約數(shù)5的基礎(chǔ)上多提供3個(gè)0；
則可以用500減去（20+3）個(gè)可以提供約數(shù)5的數(shù)字；
400到500間提供一個(gè)5的約數(shù)（500-400）÷5=20，提供2個(gè)約數(shù)的數(shù)：（500-400）÷25=4，提供3個(gè)約數(shù)5的沒有；
所以，在400到500內(nèi)只要有一個(gè)提供約數(shù)5的就可以了．那么n最小是405．

點(diǎn)評：此題考查了乘除法中的巧算．