Question

求證：對(duì)于任意的8個(gè)自然數(shù)，一定能從中找到6個(gè)數(shù)a，b，c，d，e，f，使得（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除特征

專題：整除性問題

分析：105=3×5×7，只要證明（a-b）（c-d）（e-f）分別是3、5、7的倍數(shù)即可求解；先由抽屜原理，8個(gè)自然數(shù)中一定有兩個(gè)的差能夠被7整除，記為a和b；再考慮剩下的6個(gè)數(shù)，同理可知其中一定有兩個(gè)的差能夠被5整除，記為c和d．再考慮剩下的4個(gè)數(shù)，同理可知其中一定有兩個(gè)的差能夠被3整除，記為e和f，從而得出（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍數(shù)．

解答： 解：證明：105=7×5×3
7的剩余系為{0，1，2，3，4，5，6}有7個(gè)數(shù)
任意8個(gè)數(shù)必有兩個(gè)對(duì)于7剩余相同
設(shè)為a，b，則7|（a-b）
同理：5的剩余有5個(gè)數(shù)
剩下8-2=6個(gè)數(shù)必有兩個(gè)對(duì)于5剩余相同
設(shè)為c，d，則5|（c-d）
對(duì)于3的剩余同理可得
有兩個(gè)數(shù)對(duì)3剩余相同
設(shè)為e，f，則3|（e-f）
這樣取到了六個(gè)數(shù)a，b，c，d，e，f，且滿足（a-b）是7的倍數(shù)，（c-d）是5的倍數(shù)，（e-f）是3的倍數(shù)．所以（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍數(shù)．證畢

點(diǎn)評(píng)：在8個(gè)數(shù)中一定可以找出兩個(gè)數(shù)關(guān)于7同余，則它們的差就是7的倍數(shù)，同理得出剩下的6個(gè)數(shù)中有5的倍數(shù)，3的倍數(shù)，從而得解．