Question

對(duì)于四位數(shù)：

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abcd

，若存在質(zhì)數(shù)P和正整數(shù)K，使得：a×b×c×d=P^K，且：a+b+c+d=P^P-5．求這樣的四位數(shù)的最小值，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：最大與最小

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：要使a+b+c+d=P^P-5的值最小，P應(yīng)當(dāng)最小，顯然，P=2時(shí)不合要求，否則2²-5是負(fù)數(shù)，所以p最小為3，此時(shí)a+b+c+d=P^P-5=22，a×b×c×d=3^K，要使四位數(shù)的最小值，先使a=1，那么b+c+d=22-1=21，又因?yàn)?^K是3
的倍數(shù)并且不含有3以外的因數(shù)，所以b、c、d一定是都3的倍數(shù)，21=3×7=3×（1+3+3）=3+9+9，所以這樣的四位數(shù)最小是1399；據(jù)此解答．

解答： 解：要使a+b+c+d=P^P-5的值最小，P應(yīng)當(dāng)最小，
顯然，P=2時(shí)不合要求，否則2²-5是負(fù)數(shù)，
所以p最小為3，此時(shí)a+b+c+d=P^P-5=22，a×b×c×d=3^K，
要使四位數(shù)的最小值，a在最高位，最小為：a=1，那么b+c+d=22-1=21，
又因?yàn)?^K一定是3的倍數(shù)并且不含有3以外的因數(shù)，所以b、c、d一定是都3的倍數(shù)，每個(gè)數(shù)也不含有3以外的因數(shù)；
則：21=3×7=3×（1+3+3）=3+9+9，
所以這樣的四位數(shù)最小是1399．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是先確定最高位為1，再確定其它每個(gè)數(shù)位上的數(shù)只有因數(shù)3，沒有其它因數(shù)．