Question

已知兩個(gè)自然數(shù)的和是60，他們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和是84，求這兩個(gè)自然數(shù)各是多少？

Answer 1

分析：首先假設(shè)出這個(gè)兩數(shù)，得出有關(guān)兩數(shù)和是60，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和是84的兩個(gè)方程，再進(jìn)行分析得出符合要求的取值．

解答：解：設(shè)所求二數(shù)為x，y，且（x，y）=d，令x=ad，y=bd，則（a，b）=1．
根據(jù)題意有

a+b= 60 d 1+ab= 84 d

，
由于（60，84）=12，
所以d=l，2，3，4，6，12．
而當(dāng)d：1，2，3，4，6時(shí)，方程組無解．
當(dāng)d=12時(shí)，方程組變?yōu)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a+b=5 ab=6

，
解得

a=2 b=3

或

a=3 b=2

．
故所求的兩數(shù)為x=24，y=36．
答：這兩個(gè)自然數(shù)為24和36．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了方程組的解法以及最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的性質(zhì)，正確的出d的取值是解決問題的關(guān)鍵．