Question

用1、2、3、4、5、6這6個(gè)數(shù)字各一次組成兩個(gè)三位數(shù)A和B．請問：A、B、630這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是多少？最小公倍數(shù)最小可能是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：公約數(shù)與公倍數(shù)問題

專題：整除性問題

分析：（1）設(shè)（A，B，630）表示A，B和630的最大公約數(shù)，設(shè)d=（A，B，630），630=2×3×3×5×7，因?yàn)?、2、3、4、5、6這六個(gè)數(shù)字中只有一個(gè)是5的倍數(shù)，所以d的因數(shù)中不可能包含5；又因?yàn)槭?的倍數(shù)的特征是各位上的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，l、2、3、4、5、6這六個(gè)數(shù)字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍數(shù)，所以A、B的公約數(shù)中不可能包含9，即d的因數(shù)中不可能包含9，則d的最大值為：3×7=21，據(jù)此解答即可；
（2）當(dāng)這兩個(gè)三位數(shù)分別是：231、546時(shí)，231、546、630這三個(gè)數(shù)的公約數(shù)最大，公倍數(shù)最小，進(jìn)而求出它們的最小公倍數(shù)即可．

解答： 解：（1）設(shè)（A，B，630）表示A，B和630的最大公約數(shù)，
設(shè)d=（A，B，630），630=2×2×3×3×3×5，
因?yàn)?、2、3、4、5、6這六個(gè)數(shù)字中只有一個(gè)是5的倍數(shù)，
所以d的因數(shù)中不可能包含5，
又因?yàn)槭?的倍數(shù)的特征是各位上的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，
l、2、3、4、5、6這六個(gè)數(shù)字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍數(shù)，
所以A、B的公約數(shù)中不可能包含9，
即d的因數(shù)中不可能包含9，
則d的最大值為：3×7=21，此時(shí)這兩個(gè)三位數(shù)分別是：231、546，
即A、B、630這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是21．

（2）當(dāng)這兩個(gè)三位數(shù)分別是：231、546時(shí)，
231、546、630這三個(gè)數(shù)的公約數(shù)最大，公倍數(shù)最小，
因?yàn)?31=21×11，546=21×2×13，630=21×2×3×5，
所以231、546、630這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是：
21×11×2×13×3×5=90090．

點(diǎn)評：此題主要考查了公約數(shù)與公倍數(shù)問題的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是判斷出：A、B、630這三個(gè)數(shù)的公約數(shù)中不可能包含5、9．