Question

（1）能否將1至8這8個(gè)數(shù)放在一條直線上，使得任意三個(gè)相鄰數(shù)的和都不小于13？
（2）能否將l至8這8個(gè)數(shù)放在一個(gè)圓圈上，使得任意三個(gè)相鄰數(shù)的和都不小于13？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)字問題

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：（1）為了解答方便，將直線上的8個(gè)數(shù)依次記為a₁，a₂，a₃，…，a₈，則有S=a₁+a₂+a₃+…+a₈=1+2+3+…+8=36．假設(shè)任意3個(gè)相鄰的數(shù)都大于13，所以：a₁+a₂+a₃≥14；a₂+a₃+a₄≥14；…；a₆+a₇+a₈≥14；將以上6個(gè)不等式相加，得3S≥84，從而S＞26＜36，因此矛盾．
（2）為了解答方便，將圓圈上8個(gè)數(shù)依次記為a₁，a₂，a₃，…，a₈，則有S=a₁+a₂+a₃+…+a₈=1+2+3+…+8=36．假設(shè)任意3個(gè)相鄰的數(shù)都大于13，所以：a₁+a₂+a₃≥14；a₂+a₃+a₄≥14；…；a₇+a₈+a₁≥14；a₈+a₁+a₂≥14．　將以上8個(gè)不等式相加，得3S≥112，從而S＞37，這與S=36矛盾．

解答： 解：（1）為了解答方便，將直線上的8個(gè)數(shù)依次記為a₁，a₂，a₃，…，a₈，則有S=a₁+a₂+a₃+…+a₈=1+2+3+…+8=36．假設(shè)任意3個(gè)相鄰的數(shù)都大于13，所以：a₁+a₂+a₃≥14；a₂+a₃+a₄≥14；…；a₆+a₇+a₈≥14；將以上6個(gè)不等式相加，得3S≥84，從而S＞26＜36，因此矛盾．故不能使得任意三個(gè)相鄰數(shù)之和都不小于13．

（2）將圓圈上的8個(gè)數(shù)依次記為a₁，a₂，a₃，…，a₈，
則S=a₁+a₂+a₃+…+a₈=1+2+3+…+8=36；
假設(shè)任意3個(gè)相鄰的數(shù)都大于13，所以：
a₁+a₂+a₃≥14；a₂+a₃+a₄≥14；…；a₇+a₈+a₁≥14；a₈+a₁+a₂≥14．
將以上8個(gè)不等式相加，得3S≥112，從而S＞37，這與S=36矛盾．
故不能使得任意三個(gè)數(shù)之和都不小于13．

點(diǎn)評：解數(shù)學(xué)題，需要正確的思路．對于很多數(shù)學(xué)問題，通常采用正面求解的思路，即從條件出發(fā)，求得結(jié)論．但是，此題直接從正面不易找到解題思路，則可改變思維的方向，運(yùn)用假設(shè)法，從條件及結(jié)論的反面進(jìn)行思考，從而使問題得到解決．