Question

下面的數(shù)列是按某種規(guī)律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，…試問：
（1）其中第300個數(shù)被6除余幾？
（2）如果數(shù)列按第n組含有n個數(shù)的規(guī)律分組，成為：（1），（3，4），（7，11，18），…，那么第300組內(nèi)各數(shù)之和除以6的余數(shù)是多少？

Answer 1

考點：數(shù)字分組,帶余除法

專題：余數(shù)問題

分析：根據(jù)被6除的余數(shù)規(guī)律，一步一步的解答即可．
（1）除以6的余數(shù)分別為：1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，…
可見1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2是它的循環(huán)節(jié)，周期為.24
300÷24=12余12，所以第300個數(shù)被6除余4（循環(huán)節(jié)的第12個數(shù)）
（2）前299組共有數(shù)1+2+…+299=（1+299）×299÷2=150×299，
最后一個數(shù)，即第150×299個數(shù)，它除以24的余數(shù)為18，第18個數(shù)為0
所以第300組300個數(shù)除以6的余數(shù)分別為1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，…
連續(xù)12組還帶前面的12個數(shù)，所以第300組內(nèi)各數(shù)之和除以6的余數(shù)=[（1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0+5+5+4+3+1+4+5+3+2+5+1+0）×12+1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]
[（1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0+5+5+4+3+1+4+5+3+2+5+1+0）×12+1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]除以6的余數(shù)=[1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]
[1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]除以6的余數(shù)=4．

解答： 解：（1）把前面的余數(shù)寫出來：
1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，…
從第25個開始重復(fù)，每隔24個數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，300÷24=12…12，
所以第300個數(shù)被6除余數(shù)同第12個的余數(shù)相同，即是4．
（2）前299組共有數(shù)1+2+…+299=（1+299）×299÷2=150×299，
最后一個數(shù)，即第150×299個數(shù)，它除以24的余數(shù)為18，第18個數(shù)為0
所以第300組300個數(shù)除以6的余數(shù)分別為1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，…
連續(xù)12組還帶前面的12個數(shù)，所以
第300組內(nèi)各數(shù)之和除以6的余數(shù)=[（1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0+5+5+4+3+1+4+5+3+2+5+1+0）×12
+1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]
[（1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0+5+5+4+3+1+4+5+3+2+5+1+0）×12+1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]除以6的余數(shù)=[1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]
[1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]除以6的余數(shù)=4．
答：第300組內(nèi)各數(shù)之和除以6的余數(shù)是4．

點評：通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力．