Question

有一個三位數(shù)，它的所有約數(shù)的和等于它的2倍減去1．這個三位數(shù)可以是

 

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Answer 1

考點：約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理

專題：數(shù)的整除

分析：首先因為它的所有約數(shù)的和等于它的2倍減去1，說明去掉約數(shù)1，約數(shù)和是2的倍數(shù)，只能從約數(shù)只含有2的考慮：2、4、8、16、32、64…，進一步找出里面的三位數(shù)有128、256、512三個，再進行驗證得出答案即可．

解答： 解：只含有約數(shù)2的數(shù)有：2，4，8，16，32，64，128，256，512．
128的約數(shù)和為1+2+4+8+16+32+64+128=255=128×2-1，
256的約數(shù)和為1+2+4+8+16+32+64+128+256=511=256×2-1，
512的約數(shù)和為1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023=512×2-1，
所以這個三位數(shù)可以是128，256，512．
故答案為：128，256，512．

點評：解答此題的關(guān)鍵，找出約數(shù)和是偶數(shù)的，要從每一個因數(shù)都是偶數(shù)考慮，利用極端的思想解決問題．