Question

已知三角形的三邊的長(zhǎng)a、b、c都是整數(shù)，且a≤b≤c，若b=7，則這樣的三角形有

28

個(gè)．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，a可取的值為1、2、3、…7，由三角形的三邊關(guān)系，有7≤c＜7+a，對(duì)a分情況討論，分析可得c可取的情況，即可得這種情況下符合條件的三角形的個(gè)數(shù)，由分類計(jì)數(shù)原理，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，a可取的值為1、2、3、…7，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，有7≤c＜7+a，
當(dāng)a=1時(shí)，有7≤c＜8，則c=7，有1種情況，
當(dāng)a=2時(shí)，有7≤c＜9，則c=7、8，有2種情況，
當(dāng)a=3時(shí)，有7≤c＜10，則c=7、8、9，有3種情況，
當(dāng)a=4時(shí)，有7≤c＜11，則c=7、8、9、10，有4種情況，
…
當(dāng)a=7時(shí)，有有7≤c＜14，則c=7、8、9、10…13，有7種情況，
則符合條件的三角形共有1+2+3+4+…+7=

7×(7+1)

2

=28；
故答案為：28．

點(diǎn)評(píng)：本題考查合情推理與分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，涉及三角形三邊的關(guān)系，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)a變化時(shí)，符合條件的三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律．