Question

求下式約簡后的分母：．

Answer 1

分析：因為6=2×3，所以分母中的500個6相乘，等于2500×3500．只要我們求出分子中有多少個因數(shù)2、多少個因數(shù)3，就可以與分母中的因數(shù)2和因數(shù)3約分，由此求解．

解答：解：因為 6=2×3，所以分母中的500個6相乘，等于2⁵⁰⁰×3⁵⁰⁰．
因為分子的1000個因數(shù)中有500個偶數(shù)，所以至少有500個因數(shù)2，這樣分母中的500個因數(shù)2將被全部約掉．
分子中有因子3的數(shù)，有的只有1個因子3，有的有2個因子3，等等．因為
3⁶=729＜1000＜3⁷=2187，所以分子的每個因數(shù)最多有6個因子3．
因為在1～1000中，至少有1個因數(shù)3的數(shù)有

1000

3

個，至少有2個因數(shù)3的數(shù)有

1000

32

個…
有6個因數(shù)是3的數(shù)有

1000

36

個；所以分子中因數(shù)是3的個數(shù)為：

1000

3

+

1000

32

+

1000

33

+…+

1000

36

，
=333

1

3

+111

1

9

+37

1

27

+12

28

81

+4

28

243

+1

271

729

，
≈333+111+37+12+4+1，
=498（個）；
與分母約分后，分母還剩兩個因數(shù)3．
所以，約簡后的分母是3×3=9．

點評：注意：在上面的計算中，并不需要真的這樣計算．因為式中的分子都是1000，分母依次是3，3²，3³，…后面一個是前面一個的3倍，所以在取整運算中，只需口算：1000除以3等于333（小數(shù)部分舍掉，下同），333除以3等于111，111除以3等于37，37除以3等于12，12除以3等于4，4除以3等于1．于是得到333+111+37+12+4+1=498（個）．在上面的運算中，當?shù)脭?shù)小于3時就自然停止，事先不必求出分母最大是3的幾次方．