Question

從 1，2，3，…，2010，2011這2011個數(shù)中取出若干個數(shù)，使其中任意兩個數(shù)之和都不能被7整除，則最多可以取出

 

個數(shù)．

Answer 1

考點：數(shù)的整除特征

專題：整除性問題

分析：首先得出能被7整除的數(shù)，從1開始，公差為7的滿足題設(shè)條件的數(shù)，加上一個能被7整除的數(shù)，即可得出最多可以選出的數(shù)．

解答： 解：這2011數(shù)中，能被7整除的數(shù)，7、14、21、28、…2009，共有287個；
不能被7整除的數(shù)可以分成6類：
①被7除余數(shù)是1的數(shù)，1、8、15、22、…、2010，共有288個；
②被7除余數(shù)是2的數(shù)，2、9、16、23、…、2011，共有288個；
③被7除余數(shù)是3的數(shù)，3、10、17、24、…、2005，共有287個；
④被7除余數(shù)是4的數(shù)，4、11、18、25、…、2006，共有287個；
⑤被7除余數(shù)是5的數(shù)，5、12、19、26、…、2007，共有287個；
⑥被7除余數(shù)是6的數(shù)，6、13、20、27、…、2008，共有287個；
將被7除余1，余2，余3的三組數(shù)全部取出，它們之中任意兩個數(shù)的和都不能被7整除，還可以從能被7整除的一組中任取1個數(shù)，與上述取出的數(shù)任意一個數(shù)的和也不能被7整除，
所以最多可取出288×2+287+1=864個數(shù)，
答：最多可以取出864個數(shù)．
故答案為：864．

點評：本題考查數(shù)的整除性的知識，難度較大，關(guān)鍵是掌握滿足條件的數(shù)的特征，然后有的放矢的進行解答．注意不要漏解．