Question

一個三位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和等于19，這樣的三位數(shù)有多少個？

Answer 1

分析：設(shè)這個三位數(shù)的百位，十位，個位上的數(shù)字分別為A、B、C，先根據(jù)這個三位數(shù)等于它的各位數(shù)字和的19倍，列出方程100A+10B+C=19（A+B+C），整理可得 9A=B+2C，因?yàn)锳、B、C都是一位數(shù)字，據(jù)此推算得出A、B、C的取值情況，再經(jīng)過檢驗(yàn)，即可得出結(jié)果．

解答：解：設(shè)這個三位數(shù)的百位，十位，個位上的數(shù)字分別為A、B、C，先根據(jù)這個三位數(shù)等于它的各位數(shù)字和的19倍，列出方程100A+10B+C=19（A+B+C），
整理可得 9A=B+2C，
A最小是1，最大是9，且A、B、C都是一位數(shù)，
（1）當(dāng)A=1時，B+2C=9，因?yàn)?C一定是偶數(shù)，所以B是奇數(shù)，
B=1，C=4，三位數(shù)是114；
B=3，C=3，這個三位數(shù)是133；
B=5，C=2，這個三位數(shù)是152；
B=7，C=1，這個三位數(shù)是171，
B=9，C=0，這個三位數(shù)是190，一共有，5個；

（2）當(dāng)A=2時，B+2C=18，因?yàn)?C一定是偶數(shù)，所以B是偶數(shù)，
B=0，C=9，這個三位數(shù)是209；
B=2，C=8，三位數(shù)是228；
B=4，C=7，這個三位數(shù)是247；
B=6，C=6，這個三位數(shù)是266；
B=8，C=5，這個三位數(shù)是285，一共有5個；

（3）當(dāng)A=3時，B+2C=27，因?yàn)?C一定是偶數(shù)，所以B是奇數(shù)，
所以B只能是9，則C=9，三位數(shù)是399，一共有1個；

（4）當(dāng)A=4時，B+2C=36，因?yàn)?C一定是偶數(shù)，所以B是偶數(shù)，所以B取1～9時，C都是兩位數(shù)，不符合題意；
所以當(dāng)A=5、6、7、8、9時，都找不出適合B、C的一位數(shù)；
據(jù)此可得：這樣的三位數(shù)有114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399，一共有11個．
答：這個三位數(shù)一共有11個．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)的整除性問題，屬于競賽題型，有一定難度．根據(jù)題意列出方程，然后根據(jù)能被19整除的數(shù)的特征得驗(yàn)證推理得出正確的結(jié)果，是解答本題的關(guān)鍵．