一個(gè)直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度是3、4、5,如果分別以各邊為軸旋轉(zhuǎn)一周,得到三個(gè)立體.求這三個(gè)立體中最大的體積和最小的體積的比.
分析:這個(gè)三角形的兩條直角邊分別是3、4,斜邊是5.
以3為旋轉(zhuǎn)軸得到的是底面半徑為4,高為3的一個(gè)圓錐;
以4為旋轉(zhuǎn)軸得到的是底面半徑為3,高為4的一個(gè)圓錐;
根據(jù)圓錐的公式V=
1
3
πr2h即分別求出這兩個(gè)圓錐的體積.
以長(zhǎng)為5的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的立體是由兩個(gè)圓錐底面上下疊合在一起組成的紡錐體.設(shè)兩個(gè)圓錐的高h(yuǎn)1h2,則h1+h2=5,設(shè)底面的半徑是h,它是直角三角形斜邊上的高,由直角三角形面積公式:
1
2
×5h=
1
2
×3×4,得h=
12
5
.再由圓錐的體積公式計(jì)算紡錐體的體積.然后根據(jù)比的意義,求出這三個(gè)立體中最大的體積和最小的體積的比.
解答:解:(1)以長(zhǎng)為3的直角邊分為軸旋轉(zhuǎn)得到的是一個(gè)圓錐,體積:V3=
1
3
π×42×3=16π;
(2)以長(zhǎng)為4的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的立體也是圓錐,體積:V4=
1
3
π×32×4=12π;
(3)以長(zhǎng)為5的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的立體是由兩個(gè)圓錐底面上下疊合在一起組成的紡錐體.
設(shè)兩個(gè)圓錐的高h(yuǎn)1和h2,則有h1+h2=5,設(shè)底面的半徑是h,
它是直角三角形斜邊上的高,由直角三角形面積公式:
1
2
×5h=
1
2
×3×4,所以h=
12
5

再由圓錐的體積公式計(jì)算紡錐體的體積是:V5=
1
3
πh2h1+
1
3
πh2h2=
1
3
πh2(h1+h2)=
1
3
π(
12
5
2×5=
48
5
π;
(4)16π>12π>
48
5
π,
16π:
48
5
π=5:3.
答:最大的體積和最小的體積的比5:3.
點(diǎn)評(píng):本題主要是考查圓錐的體積、紡錐體體積的計(jì)算.紡錐體體積的計(jì)算比較麻煩,用小學(xué)知識(shí)解答比較困難.
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12π或16π
12π或16π
立方厘米(結(jié)果中的π保留,不必取近似值計(jì)算).

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96π或128π
96π或128π
立方厘米(結(jié)果中的π保留,不必取近似值計(jì)算).

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(2010?綦江縣)一個(gè)直角三角形的三條邊的和是36厘米,三條邊的比是3:4:5,這個(gè)三角形的面積是
54
54
平方厘米.

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