Question

【題目】甲、乙、丙三人做一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙的順序每人輪流去做，恰好整數(shù)天完成。若按乙、丙、甲的順序每人一天輪流去做，則比原計(jì)劃多用天；若按丙、甲、乙的順序每人一天輪流去做，則比原計(jì)劃多用天。已知甲單獨(dú)做完這件工作要13天，問：甲、乙、丙三人一起做這件工作要用多少天完成？

Answer 1

【答案】5天

【解析】

根據(jù)題意可知，按甲、乙、丙的順序每人輪流去做，恰好整數(shù)天完成，其余兩個(gè)方案都不是整天完工，那么甲乙丙的方案，一定是甲或乙結(jié)尾，不可能是丙結(jié)尾，丙結(jié)束就是整數(shù)周期；按兩種情況第一種是甲結(jié)束，甲＝乙+丙×＝丙+甲×；丙＝×甲，這樣乙、丙的工作效率就相同了，根據(jù)題意三隊(duì)的工作效率各不相同，從而排除第一種情況；第二種情況：乙結(jié)束，甲＋乙＝乙＋丙＋甲×＝丙＋甲＋乙×，丙＝甲×=乙×，丙=甲×，乙=甲×，從而算出三個(gè)工程隊(duì)合作的時(shí)間。

由題設(shè)甲的工作效率為，而對于甲、乙、丙次序的安排，結(jié)束工作的只可能為甲或乙。分兩種情況討論：

（1）結(jié)束工作的是甲。此時(shí)，第一種安排的收尾是甲做1天，第二種安排的收尾為乙做1天，丙做天，第三種安排的收尾為丙做1天，甲做天。但這三種收尾的工作量相等。所以，比較可知，丙的工作效率為甲的，乙的工作效率也為甲的。從而，原計(jì)劃的工作時(shí)間為

，

不是整數(shù)，與題設(shè)矛盾，即這種情況不可能。

（2）結(jié)束工作的是乙。此時(shí)，第一種安排的收尾為甲做1天，乙做1天；第二種安排的收尾為乙做1天，丙做1天，甲做天；第三種安排的收尾為丙做1天，甲做1天，乙做天。但這三種收尾工作量都相等，所以，比較可知，丙的工作效率為甲的，乙的工作效率為甲的。從而，原計(jì)劃的工作時(shí)間為

（天）

為整天，符合要求。

因此，甲、乙、丙一起完成這件工作需

（天）。