Question

有4個(gè)不同的正整數(shù)，它們中任意2個(gè)數(shù)的和都是2的倍數(shù)，任意3個(gè)數(shù)的和都是3的倍數(shù)．要使這4個(gè)數(shù)的和盡可能小，這4個(gè)數(shù)應(yīng)該分別是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除特征

專題：整除性問題

分析：首先從被2、3整除數(shù)的特征入手，根據(jù)被3除的余數(shù)特征分析探討得出答案即可．

解答： 解：任意兩數(shù)之和是2的倍數(shù)，說明這4個(gè)數(shù)要么都是2的倍數(shù)，要么都不是2的倍數(shù)．
任意三數(shù)之和是3的倍數(shù)，分析幾種假設(shè)：
1、假設(shè)這四個(gè)數(shù)都是三的倍數(shù)--情況可以成立；
2、假設(shè)其中一個(gè)數(shù)是三的倍數(shù)--這要求剩下三個(gè)數(shù)兩兩相加或三個(gè)相加都是3的倍數(shù)，而三個(gè)不是3倍數(shù)的數(shù)兩兩相加是無法得到3的倍數(shù)的數(shù)的（不是3的倍數(shù)的數(shù)與3相除得的余數(shù)只能是1和2，而1和2拿出3個(gè)來兩兩相加是無法都得到3的），不成立．
3、假設(shè)其中兩個(gè)數(shù)是三的倍數(shù)--同樣要求剩下的兩個(gè)數(shù)中任意一個(gè)或者兩個(gè)相加都是3的倍數(shù)，與假設(shè)違背，不成立．
4、假設(shè)其中三個(gè)數(shù)是三的倍數(shù)--要求剩下的一個(gè)數(shù)必須是三的倍數(shù)，同樣與假設(shè)違背，不成立．
因此，這四個(gè)數(shù)必須都是3的倍數(shù)（其中一個(gè)可為0）
列出3的倍數(shù)（含0）
0、3、6、9、12、15、18、21、24、27
從中取出4個(gè)數(shù)，這四個(gè)數(shù)全是2的倍數(shù)：0、6、12、18
從中取出4個(gè)數(shù)，這四個(gè)數(shù)不能是2的倍數(shù)：3、9、15、21
很明顯，0、6、12、18符合盡可能小的要求．
所以這四個(gè)數(shù)為0、6、12、18．

點(diǎn)評(píng)：此題考查被一個(gè)數(shù)整除數(shù)的特征，掌握被一個(gè)數(shù)整除數(shù)的特征是解決問題的關(guān)鍵．