Question

已知n!+3是一個(gè)完全平方數(shù)，試確定自然數(shù)n的值．（n!=1×2×3×…×n）

Answer 1

考點(diǎn)：完全平方數(shù)性質(zhì)

專(zhuān)題：競(jìng)賽專(zhuān)題

分析：對(duì)任意偶數(shù)2k，其平方4k²必能被4整除，對(duì)任意奇數(shù)2k+1，其平方4k²+4k+1被4整除余1，由于當(dāng)n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故當(dāng)n≥4時(shí)，1×2×3×…×n+3不可能是一個(gè)自然數(shù)的平方．

解答： 解：對(duì)任意偶數(shù)2k，其平方4k²必能被4整除，對(duì)任意奇數(shù)2k+1，其平方4k²+4k+1被4整除余1，由于當(dāng)n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故當(dāng)n≥4時(shí)，1×2×3×…×n+3不可能是一個(gè)自然數(shù)的平方．
將n=1，2，3代入知：
1+3=4=2²
1×2×3+3=9=3²
故n=1，或n=3．
答：自然數(shù)n的值為1或3．

點(diǎn)評(píng)：由于當(dāng)n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故當(dāng)n≥4時(shí)，1×2×3×…×n+3不可能是一個(gè)自然數(shù)的平方．