Question

晶晶有90塊大小相同的建筑用木板．他將所有的木板（不能切割）用來建造4級(jí)“樓梯”，除頂層外，其它各級(jí)梯面的長度相等（如圖），
①用這90塊木板來建造一個(gè)6級(jí)“樓梯”，共有幾種方式？請(qǐng)一一列舉出來．
②如果他想把這90塊木板去造一個(gè)7級(jí)“樓梯”，他的設(shè)想能實(shí)現(xiàn)嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：①本題實(shí)際上是要把90拆成有6項(xiàng)的等差數(shù)列，設(shè)其公差為x，則有：首項(xiàng)+末項(xiàng)=90×2÷6=30，首項(xiàng)-末項(xiàng)=5x，然后推導(dǎo)首項(xiàng)和公差的關(guān)系，再討論即可；
②同理，按問題①的解答思路討論首項(xiàng)和公差的關(guān)系，即可判斷設(shè)想能能否實(shí)現(xiàn)．

解答： 解：①本題實(shí)際上是要把90拆成有6項(xiàng)的等差數(shù)列，設(shè)其公差為x，
則有：首項(xiàng)+末項(xiàng)=90×2÷6=30，首項(xiàng)-末項(xiàng)=5x，
則：2×首項(xiàng)=30+5x，
首項(xiàng)=15+

5

2

x．
而

5

2

x必為整數(shù)，且首＜30，所以有兩種情況滿足條件：第一：20、18、16、14、12、10．第二：25、21、17、13、9，5．因此，共有2種方式．
②當(dāng)分7級(jí)時(shí)，首項(xiàng)+末項(xiàng)=90×2÷7=

180

7

，則首、末都必須為分?jǐn)?shù)，所以不能實(shí)現(xiàn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了高斯求和公式的實(shí)際應(yīng)用，相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是：和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2；首項(xiàng)=末項(xiàng)-公差×（項(xiàng)數(shù)-1）；末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）；項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1．．