Question

對于自然數(shù)n，n的因數(shù)個數(shù)用A（n）表示，n的所有因數(shù)的和用B（n）表示．
（1）A（54）=

 

，B（54）=

 

；
（2）當A（n）=2時，A一定是

 

數(shù)；
（3）當A（n）=6時，A最小是

 

．

Answer 1

考點：約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理

專題：整除性問題

分析：（1）先把54分解質因數(shù)，再進一步求得因數(shù)個數(shù)和因數(shù)和即可；
（2）根據質數(shù)的意義可知：只含有兩個因數(shù)的數(shù)，由此得出答案即可；
（3）因為因數(shù)個總個數(shù)為6，所以從最小的質因數(shù)2和3和個數(shù)考慮解決問題．

解答： 解：（1）54=2×3×3×3，
則A（54）=（1+1）×（3+1）=8，B（54）=（2⁰+2¹）（3⁰+3¹+3²+3³）=120；
（2）當A（n）=2時，A一定是質數(shù)；
（3）當A（n）=6時，
6=1×6=2×3
所以A=2⁵=32，或A=2²×3=12．
A最小是12．
故答案為：8，120；質；12．．

點評：對于一個大于1正整數(shù)n可以分解質因數(shù)：n=p₁^a₁?p₂^a₂?p₃^a₃?…*p_k^a_k，可知n的正約數(shù)有（a?+1）（a?+1）（a?+1）…（a_k+1）個，那么n的（a?+1）（a?+1）（a?+1）…（a_k+1）個正約數(shù)的和為 f（n）=（p₁⁰+p₁¹+p₁²+…+p₁^a₁）…（p_k⁰+p_k¹+p_k²+…p_k^a_k）．