Question

甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)除以它們的最大公約數(shù)，商是12．如果甲乙兩數(shù)的差是18，則甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？

Answer 1

分析：（1）甲乙兩數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的兩個(gè)商是互質(zhì)數(shù)．而這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的乘積，恰好是甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)除以它們的最大公約數(shù)所得的商12．這一結(jié)論的根據(jù)是：（我們以“約”代表兩數(shù)的最大公約數(shù)，以“倍”代表兩數(shù)的最小公倍數(shù)）甲數(shù)×乙數(shù)=倍×約

甲數(shù)×乙數(shù)

約×約

=

倍×約

約×約

，所以：

甲數(shù)

約

×

乙數(shù)

約

=

倍

約

，

甲數(shù)

約

×

乙數(shù)

約

=12；然后根據(jù)題意，進(jìn)行分析，繼而得出答案．
（2）要求這兩個(gè)數(shù)分別是多少，先進(jìn)行解設(shè)，然后根據(jù)最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)的知識(shí)進(jìn)行分析，即可得出答案．

解答：解：解法一：12變成互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)的乘積：①12=4×3，②12=1×12
先看①，說(shuō)明甲乙兩數(shù)：一個(gè)是它們最大公約數(shù)的4倍，一個(gè)是它們最大公約數(shù)的3倍．
甲乙兩數(shù)的差除以上述互質(zhì)的兩數(shù)（即4和3）之差，所得的商，即甲乙兩數(shù)的最大公約數(shù)．
18÷（4-3）=18；
甲乙兩數(shù)，一個(gè)是：18×3=54，另一個(gè)是：18×4=72．
再看②，18÷（12-1）=1

7

11

，不符合題意，舍去．
解法二：設(shè)最大公約數(shù)為a，則最小公倍數(shù)為12a，
因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)分別為b×a，c×a，
由題知b×c=12，
所以①b=2，c=6
②b=3，c=4
③b=1，c=12．
又因?yàn)椋?2a÷b）-（12a÷c）=18；
將①代入題中，（12a÷2）-（12a÷6）=18，a=4.5（舍去）；
將③代入題中，（12a÷1）-（12a÷12）=18，a=

18

11

（舍去）；
將②分別代入題中可知，（12a÷3）-（12a÷4）=18，a=18，符合；
所以b=3，c=4，a=18，所以這兩數(shù)分別為12a÷b=72，12a÷c=54．
答：甲數(shù)是72，乙數(shù)就是54；如乙數(shù)是54，甲數(shù)就是72；

點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是先進(jìn)行根據(jù)最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)的知識(shí)進(jìn)行解設(shè)，進(jìn)而進(jìn)行分析，得出結(jié)論．