精英家教網(wǎng)已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上橢圓，離心率為
6
3
，且過點(diǎn)A（1，1）
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Π）如圖，B為橢圓右頂點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)C與A關(guān)于原點(diǎn)對稱，過點(diǎn)A作兩條直線交橢圓P、Q（異于A、B），交x軸與P'，Q'，若|AP'|=|AQ'|，求證：存在實(shí)數(shù)λ，使得
PQ
=λ
BC
．
分析：（Ⅰ）先把橢圓方程設(shè)出來，再利用離心率為
6
3
，且過點(diǎn)A（1，1）以及a2=b2+c2求出對應(yīng)a，b，c的值即可．
（Π）先求出直線BC的斜率，再利用條件|AP'|=|AQ'|，知道直線AP的斜率k與AQ的斜率互為相反數(shù)，把直線AP的方程設(shè)出來，于橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，只要直線PQ的斜率與直線BC的斜率相等即可證得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．離心率為
6
3
，
c
a
=
6
3
?
c2
a2
=
2
3
①
∵點(diǎn)A（1，1）在橢圓上，∴
1
a2
+
1
b2
=1②
又a2=b2+c2③
解得
a2=4
b2=
4
3
c2=
8
3

故所求橢圓方程為
x2
4
+
3y2
4
=1
（Ⅱ）由A（1，1）得C（-1，1）
則kBC=
0-(-1)
2-(-1)
=
1
3

易知AP的斜率k必存在，設(shè)AP；y=k（x-1）+1，則AQ：y=-k（x-1）+1，
由
x2
4
+
3y2
4
=1
y=k(x-1)+1
得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0
由A（1，1）得x=1是方程（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0的一個根
由韋達(dá)定理得：xp=xp•1=
3k2-6k-1
1+3k2

以-k代k得xQ=
3k2+6k-1
1+3k2
故kPQ=
yP-yQ
xP-xQ
=
k(xP+xQ)-2k
xP-xQ
=
1
3

故BC∥PQ
即存在實(shí)數(shù)λ，使得
PQ
=λ
.
BC
．
點(diǎn)評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及向量共線問題．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)．
練習(xí)冊系列答案
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已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線為mx-y=0，若m在集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任意取一個值，使得雙曲線的離心率大于3的概率是
 
．

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（2013•大興區(qū)一模）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的離心率為
3
2
，實(shí)軸長為4，則雙曲線的方程是
x2
4
-
y2
5 
=1
x2
4
-
y2
5 
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C，過點(diǎn)P（2，
3
）且離心率為2，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
3
-
y2
9
=1
x2
3
-
y2
9
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•合肥模擬）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線的方程為y=
1
2
x，則此雙曲線的離心率為（　�。�

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已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的一條漸近線方程為
3
x-y=0，則該雙曲線的離心率為（　�。�

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