Question

為喜迎佳節(jié)，沙坪壩區(qū)某食品公司推出一種新年禮盒，每盒成本為20元．在元旦節(jié)前30天進(jìn)行銷售后發(fā)現(xiàn)，該禮盒在這30天內(nèi)的日銷售量p（盒）與時(shí)間x（天）的關(guān)系如下表：

時(shí)間x（天）	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	…
日銷售量p（盒）	78	76	74	72	70	…

在這30天內(nèi)，前20天每天的銷售價(jià)格y₁（元/盒）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為（1≤x≤20，且x為整數(shù)），后10天每天的銷售價(jià)格y₂（元/盒）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為（21≤x≤30，且x為整數(shù)）．
（1）直接寫出日銷售量p（盒）與時(shí)間x（天）之間的關(guān)系式；
（2）請(qǐng)求出這30天中哪一天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？
（3）元旦放假期間，該公司采取降價(jià)促銷策略．元旦節(jié)當(dāng)天，銷售價(jià)格（元/盒）比第30天的銷售價(jià)格降低a%，而日銷售量就比第30天提高了4a%，日銷售利潤比前30天中的最大日銷售利潤少380元，求a的值．
注：銷售利潤=（售價(jià)-成本價(jià)）×銷售量．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖表得出日銷售量p（盒）與時(shí)間x（天）的關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系直接寫出即可；
（2）首先表示出日銷售利潤，進(jìn)而求出函數(shù)最值即可，再利用函數(shù)增減性求出最大利潤；
（3）首先利用當(dāng)x=30時(shí)，得出銷售價(jià)格以及日銷售量進(jìn)而求出a的值即可．
解答：解：（1）p=-2x+80；

（2）設(shè)日銷售利潤為w元，
則（1≤x≤20）；
（21≤x≤30）；
∵（1≤x≤20）的對(duì)稱軸為：x=10，
∴當(dāng)x=10時(shí)，（1≤x≤20）取得最大值，最大利潤是450元．
∵w=（x-40）²（21≤x≤30）的對(duì)稱軸為x=40，
且當(dāng)21≤x≤30時(shí)函數(shù)值隨x的增大而減小
∴當(dāng)x=21時(shí)，w=（x-40）²（21≤x≤30）取得最大值，最大利潤是361元，
綜上可知，當(dāng)x=10時(shí)，利潤最大，最大利潤是450元．
這30天中第10天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤為450元．

（3）當(dāng)x=30時(shí)，銷售價(jià)格為：=25（元），
日銷售量為：p=-2x+80=20（盒），
則[25（1-a%）-20]×20（1+4a%）=450-380，
化簡得：a²+5a-150=0，
解得：a₁=-15（舍去），a₂=10，
答：a的值為10．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知得出利潤與銷量之間的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．