Question

為喜迎佳節(jié)，沙坪壩區(qū)某食品公司推出一種新年禮盒，每盒成本為20元．在元旦節(jié)前30天進行銷售后發(fā)現(xiàn)，該禮盒在這30天內(nèi)的日銷售量p（盒）與時間x（天）的關(guān)系如下表：

時間x（天）	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	…
日銷售量p（盒）	78	76	74	72	70	…

在這30天內(nèi)，前20天每天的銷售價格y₁（元/盒）與時間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為y1=

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x+25（1≤x≤20，且x為整數(shù)），后10天每天的銷售價格y₂（元/盒）與時間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為y2=-

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x+40（21≤x≤30，且x為整數(shù)）．
（1）直接寫出日銷售量p（盒）與時間x（天）之間的關(guān)系式；
（2）請求出這30天中哪一天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？
（3）元旦放假期間，該公司采取降價促銷策略．元旦節(jié)當(dāng)天，銷售價格（元/盒）比第30天的銷售價格降低a%，而日銷售量就比第30天提高了4a%，日銷售利潤比前30天中的最大日銷售利潤少380元，求a的值．
注：銷售利潤=（售價-成本價）×銷售量．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖表得出日銷售量p（盒）與時間x（天）的關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系直接寫出即可；
（2）首先表示出日銷售利潤，進而求出函數(shù)最值即可，再利用函數(shù)增減性求出最大利潤；
（3）首先利用當(dāng)x=30時，得出銷售價格以及日銷售量進而求出a的值即可．

解答：解：（1）p=-2x+80；

（2）設(shè)日銷售利潤為w元，
則w=(-2x+80)(

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x+25-20)=-

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(x-10)2+450（1≤x≤20）；
w=(-2x+80)(-

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2

x+40-20)=(x-40)2（21≤x≤30）；
∵w=-

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2

(x-10)2+450（1≤x≤20）的對稱軸為：x=10，
∴當(dāng)x=10時，w=-

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2

(x-10)2+450（1≤x≤20）取得最大值，最大利潤是450元．
∵w=（x-40）²（21≤x≤30）的對稱軸為x=40，
且當(dāng)21≤x≤30時函數(shù)值隨x的增大而減小
∴當(dāng)x=21時，w=（x-40）²（21≤x≤30）取得最大值，最大利潤是361元，
綜上可知，當(dāng)x=10時，利潤最大，最大利潤是450元．
這30天中第10天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤為450元．

（3）當(dāng)x=30時，銷售價格為：y2=-

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x+40=25（元），
日銷售量為：p=-2x+80=20（盒），
則[25（1-a%）-20]×20（1+4a%）=450-380，
化簡得：a²+5a-150=0，
解得：a₁=-15（舍去），a₂=10，
答：a的值為10．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知得出利潤與銷量之間的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．