Question

為喜迎佳節(jié)，沙坪壩區(qū)某食品公司推出一種新年禮盒，每盒成本為20元．在元旦節(jié)前30天進(jìn)行銷售后發(fā)現(xiàn)，該禮盒在這30天內(nèi)的日銷售量p（盒）與時(shí)間x（天）的關(guān)系如下表：

時(shí)間x（天）	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	…
日銷售量p（盒）	78	76	74	72	70	…

在這30天內(nèi)，前20天每天的銷售價(jià)格y₁（元/盒）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為y1=

1

4

x+25（1≤x≤20，且x為整數(shù)），后10天每天的銷售價(jià)格y₂（元/盒）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為y2=-

1

2

x+40（21≤x≤30，且x為整數(shù)）．
（1）直接寫(xiě)出日銷售量p（盒）與時(shí)間x（天）之間的關(guān)系式；
（2）請(qǐng)求出這30天中哪一天的日銷售利潤(rùn)最大？最大日銷售利潤(rùn)是多少？
（3）元旦放假期間，該公司采取降價(jià)促銷策略．元旦節(jié)當(dāng)天，銷售價(jià)格（元/盒）比第30天的銷售價(jià)格降低a%，而日銷售量就比第30天提高了4a%，日銷售利潤(rùn)比前30天中的最大日銷售利潤(rùn)少380元，求a的值．
注：銷售利潤(rùn)=（售價(jià)-成本價(jià)）×銷售量．

Answer 1

（1）p=-2x+80；

（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，
則w=(-2x+80)(

1

4

x+25-20)=-

1

2

(x-10)2+450（1≤x≤20）；
w=(-2x+80)(-

1

2

x+40-20)=(x-40)2（21≤x≤30）；
∵w=-

1

2

(x-10)2+450（1≤x≤20）的對(duì)稱軸為：x=10，
∴當(dāng)x=10時(shí)，w=-

1

2

(x-10)2+450（1≤x≤20）取得最大值，最大利潤(rùn)是450元．
∵w=（x-40）²（21≤x≤30）的對(duì)稱軸為x=40，
且當(dāng)21≤x≤30時(shí)函數(shù)值隨x的增大而減小
∴當(dāng)x=21時(shí)，w=（x-40）²（21≤x≤30）取得最大值，最大利潤(rùn)是361元，
綜上可知，當(dāng)x=10時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是450元．
這30天中第10天的日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)為450元．

（3）當(dāng)x=30時(shí)，銷售價(jià)格為：y2=-

1

2

x+40=25（元），
日銷售量為：p=-2x+80=20（盒），
則[25（1-a%）-20]×20（1+4a%）=450-380，
化簡(jiǎn)得：a²+5a-150=0，
解得：a₁=-15（舍去），a₂=10，
答：a的值為10．