【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+2與x軸交于點A,與y軸交于點C.拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣且經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一交點為點B.
(1)①直接寫出點B的坐標(biāo);②求拋物線解析式.
(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點,連接PA,PC.求△PAC的面積的最大值,并求出此時點P的坐標(biāo).
(3)拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)①(1,0)②y=-x2-x+2(2)(﹣2,3)(3)存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18)
【解析】
試題分析:(1)①先求的直線y=x+2與x軸交點的坐標(biāo),然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標(biāo);②設(shè)拋物線的解析式為y=y=a(x+4)(x﹣1),然后將點C的坐標(biāo)代入即可求得a的值;
(2)設(shè)點P、Q的橫坐標(biāo)為m,分別求得點P、Q的縱坐標(biāo),從而可得到線段PQ=-m2﹣2m,然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值,從而可求得點P的坐標(biāo);
(3)首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下幾種情況分類討論即可:①當(dāng)M點與C點重合,即M(0,2)時,△MAN∽△BAC;②根據(jù)拋物線的對稱性,當(dāng)M(﹣3,2)時,△MAN∽△ABC; ④當(dāng)點M在第四象限時,解題時,需要注意相似三角形的對應(yīng)關(guān)系.
試題解析:(1)①y=x+2
當(dāng)x=0時,y=2,當(dāng)y=0時,x=﹣4,
∴C(0,2),A(﹣4,0),
由拋物線的對稱性可知:點A與點B關(guān)于x=﹣對稱,
∴點B的坐標(biāo)為(1,0).
②∵拋物線y=ax2+bx+c過A(﹣4,0),B(1,0),
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+4)(x﹣1),
又∵拋物線過點C(0,2),
∴2=﹣4a
∴a=-
∴y=-x2-x+2.
(2)設(shè)P(m,-m2-m+2).
過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q,
∴Q(m,m+2),
∴PQ=-m2-m+2﹣(m+2)
=-m2﹣2m,
∵S△PAC=×PQ×4,
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣(m+2)2+4,
∴當(dāng)m=﹣2時,△PAC的面積有最大值是4,
此時P(﹣2,3).
(3)在Rt△AOC中,tan∠CAO=在Rt△BOC中,tan∠BCO=,
∴∠CAO=∠BCO,
∵∠BCO+∠OBC=90°,
∴∠CAO+∠OBC=90°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACO∽△CBO,
如下圖:
①當(dāng)M點與C點重合,即M(0,2)時,△MAN∽△BAC;
③ 根據(jù)拋物線的對稱性,當(dāng)M(﹣3,2)時,△MAN∽△ABC;
④ 當(dāng)點M在第四象限時,設(shè)M(n,-n2-n+2),則N(n,0)
∴MN=n2+n﹣2,AN=n+4
當(dāng)時,MN=AN,即n2+n﹣2=(n+4)
整理得:n2+2n﹣8=0
解得:n1=﹣4(舍),n2=2
∴M(2,﹣3);
當(dāng)時,MN=2AN,即n2+n﹣2=2(n+4),
整理得:n2﹣n﹣20=0
解得:n1=﹣4(舍),n2=5,
∴M(5,﹣18).
綜上所述:存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似.
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【題目】已知直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于A、B兩點,與反比例函數(shù)交于一象限內(nèi)的P(,n),Q(4,m)兩點,且tan∠BOP=:
(1)求反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求△OPQ的面積.
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【題目】下列四個多邊形:①等邊三角形;②正方形;③正五邊形;④正六邊形.其中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④
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【題目】計算:
(1)﹣9+(+ )﹣(﹣12)+(﹣5)+(﹣ )
(2)(1﹣1 ﹣ + )×(﹣24)
(3)﹣ + ÷(﹣2)×(﹣ )
(4)﹣14﹣(1﹣ )÷3×|3﹣(﹣3)2|
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【題目】如圖,已知正方形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸上,OA=AB=2,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A,B,交正x軸于點D,E是OC上的動點(不與C重合)連接EB,過B點作BF⊥BE交y軸與F
(1)求b,c的值及D點的坐標(biāo);
(2)求點E在OC上運動時,四邊形OEBF的面積有怎樣的規(guī)律性?并證明你的結(jié)論;
(3)連接EF,BD,設(shè)OE=m,△BEF與△BED的面積之差為S,問:當(dāng)m為何值時S最小,并求出這個最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列判斷正確的是( 。
A. 兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 B. 一邊及一銳角相等的兩個直角三角形全等
C. 頂角和底邊分別相等的兩個等腰三角形全等 D. 三個內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個三角形全等
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