Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=，∠C=30°．點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動的時(shí)間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．

（1）AC的長是　　，AB的長是　　．

（2）在D、E的運(yùn)動過程中，線段EF與AD的關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變化，那么線段EF與AD是何關(guān)系，并給予證明；若變化，請說明理由．

（3）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=5，AC=10；（2）EF與AD平行且相等；（3）當(dāng)t=時(shí)，四邊形AEFD為菱形

【解析】

（1）在Rt△ABC中，∠C=30°，則AC=2AB，根據(jù)勾股定理得到AC和AB的值．
（2）先證四邊形AEFD是平行四邊形，從而證得AD∥EF，并且AD=EF，在運(yùn)動過程中關(guān)系不變．
（3）求得四邊形AEFD為平行四邊形，進(jìn)而利用菱形的判定與性質(zhì)得出AE=AD時(shí)，求出t的值，進(jìn)而得出答案．

（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，

∴AC=2AB，

根據(jù)勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2，

∴3AB2=75，

∴AB=5，AC=10；

（2）EF與AD平行且相等．

證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t．

又∵AE=t，

∴AE=DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

∴四邊形AEFD為平行四邊形．

∴EF與AD平行且相等．

（3）解：能；

理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

又∵AE=DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形．

∵AB=5，AC=10．

∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．

若使AEFD為菱形，則需AE=AD，

即t=10﹣2t，解得：t=．

即當(dāng)t= 時(shí)，四邊形AEFD為菱形．

故答案為：（1）AB=5，AC=10；（2）EF與AD平行且相等；（3）當(dāng)t= 時(shí)，四邊形AEFD為菱形．