Question

【題目】已知如圖，是腰長為的等腰直角三角形，要求在其內(nèi)部作出一個半圓，直徑在的邊上，且半圓的弧與的其他兩邊相切，則該半圓的半徑是________（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分兩種情況：①是直徑在斜邊上；②是直徑在腰上分別求解半圓半徑的長即可．

解：①∵半圓的直徑在△ABC的斜邊上，且半圓的弧與△ABC的兩腰相切，切點為D、E，
如圖1，連接OD，OA，

∵AB與⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O為BC的中點，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O為BC的中點，
∴OD=AC=2．
②∵半圓的直徑在△ABC的腰上，且半圓的弧與△ABC的斜邊相切，切點為D，
如圖2，連接OD，設(shè)半圓的半徑為r，

∴OB=4-r，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，
∴∠B=45°，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴OD=BD=r，
∴2r2=（4-r）2，解得r=-4+4，r=-4-4（舍去），

故答案為：或