Question

如圖，直線與y=2x雙曲線相交于點A、E，直線AB與雙曲線交于點B，與x軸、y軸分別交于點C、D，且B點橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)的兩倍，直線EB交x軸于點F，
（1）求直線AB的解析式；
（2）求證：△COD∽△CBF．

Answer 1

解：（1）∵直線與y=2x雙曲線相交于點A、E，
∴，
解得：，，
∴A點坐標(biāo)為：（-2，-4），E點坐標(biāo)為：（2，4），
∵B點橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)的兩倍，
∴設(shè)B點坐標(biāo)為：（2x，x），
∴2x•x=8，
即x ²=4，
解得：x₁=2，x₂=-2（不合題意舍去），
∴B點坐標(biāo)為：（4，2），
設(shè)直線AB的解析式為：y=ax+b，
故將A，B點坐標(biāo)代入解析式得：
，
解得：，
故直線AB的解析式為：y=x-2；

（2）過點B作BM⊥OF于點M，
∵直線AB的解析式為：y=x-2，
∴y=0時，x=2，則圖象與x軸交于點C（2，0），進而得出圖象與y軸交于點（0，2），
∴DO=CO=2，
∴CD=2，
設(shè)直線EB的解析式為：y=cx+d，
將E，B點代入得：，
解得：，
故直線EB的解析式為：y=-x+6，
當(dāng)y=0，則x=6，
故F點坐標(biāo)為：（6，0），
則FC=4，
又∵B點坐標(biāo)為：（4，2），CO=2，
∴MO=4，BM=2，
∴CM=2，MF=2，
∴BC=CF=2，
∵====，
∴△COD∽△CBF．
分析：（1）利用兩函數(shù)聯(lián)立求出A，E點的坐標(biāo)，進而利用反比例函數(shù)解析式得出B點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（2）首先求出EB的解析式，進而得出F點坐標(biāo)，再得出OD，OC，CD，F(xiàn)C，BC，BF的長度進而利用三邊關(guān)系得出△COD∽△CBF．
點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定等知識，根據(jù)待定系數(shù)法求出EB的函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．