Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B（4，2）；過(guò)點(diǎn)D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB、BC交于點(diǎn)M、N
（1）求直線DE的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
（2）若函數(shù)y=

k

x

(k≠0，k為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，求該函數(shù)的表達(dá)式，并判定點(diǎn)N是否在圖象上；
（3）求△OMN的面積S；
（4）若函數(shù)y=

k

x

(k≠0，k為常數(shù)）的圖象與△BMN沒(méi)有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍，不需解答過(guò)程．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得直線DE的解析式，然后根據(jù)M的縱坐標(biāo)是2，N的橫坐標(biāo)是4，即可求得M、N的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)即可求得反比例函數(shù)的解析式，然后把N的坐標(biāo)代入解析式檢驗(yàn)即可判斷是否在反比例函數(shù)的圖象上；
（3）根據(jù)△OMN的面積S=S_梯形OCBM-S_△OCN-S_△BMN即可求解；
（4）根據(jù)經(jīng)過(guò)M、N的反比例的函數(shù)的解析式，以及經(jīng)過(guò)B的反比例函數(shù)的解析式，即可直接寫出k的范圍．

解答：解：（1）設(shè)直線DE的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：

b=3 6k+b=0

，
解得：

b=3 k=- 1 2

，
則直線DE的解析式是：y=-

1

2

x+3，
令y=2，得到2=-

1

2

x+3，解得：x=2，則M的坐標(biāo)是（2，2），
令x=4，解得：x=-2+3=1，則N的坐標(biāo)是（4，1）；

（2）把（2，2）代入y=

k

x

得；k=4，則反比例函數(shù)的解析式是：y=

4

x

，
當(dāng)x=4時(shí)，y=1，則N在y=

4

x

的圖象上；

（3）S_梯形OCBM=

1

2

（BM+OC）•BC=

1

2

（2+4）•2=6，
S_△OCN=

1

2

OC•CN=

1

2

×4×1=2，
S_△BMN=

1

2

BN•BM=

1

2

×1×2=1，
則△OMN的面積S=6-2-1=3；

（4）經(jīng)過(guò)M的反比例函數(shù)的解析式是：y=

4

x

，同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，則當(dāng)0＜k＜4時(shí)，函數(shù)與△BNM沒(méi)有交點(diǎn)；
經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式是：y=

8

x

，則當(dāng)k＞8時(shí)，函數(shù)與△BMN沒(méi)有交點(diǎn)；
當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)圖象在二、四象限，則與△BMN沒(méi)有交點(diǎn)．
故k的范圍是：0＜k＜4或k＞8或k＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，以及反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)，正確求得函數(shù)解析式是關(guān)鍵．