【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l:y=kx+b與y軸交于點(diǎn)C,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且CD=4AC.
(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo),并求直線l的函數(shù)表達(dá)式(其中k,b用含a的式子表示);
(2)點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的一點(diǎn),若△ACE的面積的最大值為,求a的值;
(3)設(shè)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線上,以點(diǎn)A,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形?若能,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=ax+a;(2)a=﹣;(3)能,P點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(1,﹣4),P2(1,﹣).
【解析】
試題分析:(1)由拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)與x軸交于兩點(diǎn)A、B,求得A點(diǎn)的坐標(biāo),作DF⊥x軸于F,根據(jù)平行線分線段成比例定理求得D的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法法即可求得直線l的函數(shù)表達(dá)式.
(2)設(shè)點(diǎn)E(m,a(m+1)(m﹣3)),yAE=k1x+b1,利用待定系數(shù)法確定yAE=a(m﹣3)x+a(m﹣3),從而確定S△ACE=(m+1)[a(m﹣3)﹣a]=(m﹣)2﹣a,根據(jù)最值確定a的值即可;
(3)分以AD為對(duì)角線、以AC為邊,AP為對(duì)角線、以AC為邊,AQ為對(duì)角線三種情況利用矩形的性質(zhì)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.
解:(1)令y=0,則ax2﹣2ax﹣3a=0,
解得x1=﹣1,x2=3
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),
∴A(﹣1,0),
如圖1,作DF⊥x軸于F,
∴DF∥OC,
∴=,
∵CD=4AC,
∴==4,
∵OA=1,
∴OF=4,
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,
代入y=ax2﹣2ax﹣3a得,y=5a,
∴D(4,5a),
把A、D坐標(biāo)代入y=kx+b得,
解得,
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+a.
(2)設(shè)點(diǎn)E(m,a(m+1)(m﹣3)),yAE=k1x+b1,
則,
解得:,
∴yAE=a(m﹣3)x+a(m﹣3),
∴S△ACE=(m+1)[a(m﹣3)﹣a]=(m﹣)2﹣a,
∴有最大值﹣a=,
∴a=﹣;
(3)令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a,即ax2﹣3ax﹣4a=0,
解得x1=﹣1,x2=4,
∴D(4,5a),
∵y=ax2﹣2ax﹣3a,∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1,
設(shè)P1(1,m),
①若AD是矩形的一條邊,
由AQ∥DP知xD﹣xP=xA﹣xQ,可知Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣4,將x=﹣4帶入拋物線方程得Q(﹣4,21a),
m=yD+yQ=21a+5a=26a,則P(1,26a),
∵四邊形ADPQ為矩形,∴∠ADP=90°,
∴AD2+PD2=AP2,
∵AD2=[4﹣(﹣1)]2+(5a)2=52+(5a)2,
PD2=[4﹣(﹣1)]2+(5a)2=52+(5a)2,
∴[4﹣(﹣1)]2+(5a)2+(1﹣4)2+(26a﹣5a)2=(﹣1﹣1)2+(26a)2,
即a2=,∵a<0,∴a=﹣,
∴P1(1,﹣).
②若AD是矩形的一條對(duì)角線,
則線段AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,),Q(2,﹣3a),
m=5a﹣(﹣3a)=8a,則P(1,8a),
∵四邊形ADPQ為矩形,∴∠APD=90°,
∴AP2+PD2=AD2,
∵AP2=[1﹣(﹣1)]2+(8a)2=22+(8a)2,
PD2=(4﹣1)2+(8a﹣5a)2=32+(3a)2,
AD2=[4﹣(﹣1)]2+(5a)2=52+(5a)2,
∴22+(8a)2+32+(3a)2=52+(5a)2,
解得a2=,∵a<0,∴a=﹣,
∴P2(1,﹣4).
綜上可得,P點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(1,﹣4),P2(1,﹣).
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B.三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形
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D.有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形
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