Question

如圖，一輛汽車在直線形公路AB由A向B行駛，M、N分別是位于公路AB同側(cè)的村莊．
（1）設(shè)汽車行駛到公路上點P的位置時，距離村莊M最近，行駛到點Q的位置時，距離村莊N最近，請在公路AB上分別畫出P、Q的位置；
（2）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時，在公路AB的哪一段上距離M、N兩村都越來越近？在哪一段上距離村莊N越來越近，而距離村莊M越來越遠(yuǎn)？在哪一段上距離M、N兩村都越來越遠(yuǎn)？（分別用文字表述你的結(jié)論）
（3）在公路AB上是否存在這樣一點H，汽車行駛到該點時，與村莊M、N的距離之和最短？如果存在，請在圖中AB上畫出此點H；如果不存在，請說明理由．（保留畫圖痕跡）

Answer 1

考點：作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖

專題：

分析：（1）根據(jù)垂線段最短，分別作垂線即可；
（2）由（1）圖可得：在公路AB的AP上距離M，N兩村莊都越來越近，在PQ路上距離村莊N越來越近，而離村莊M卻越來越遠(yuǎn)；
（3）作出M關(guān)于直線AB的對稱點M′，連接NM′，交AB于點H，則NH+HM最�。�

解答：解：（1）如圖所示：P、Q即為所求；

（2）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時，在公路AB的線段AP上距離M、N兩村都越來越近，
在線段QP上距離村莊N越來越近，而距離村莊M越來越遠(yuǎn)，
在線段BQ上距離M、N兩村都越來越遠(yuǎn)；

（3）如圖所示：H點即為所求，
作出M關(guān)于直線AB的對稱點M′，連接NM′，交AB于點H，則NH+HM最小，
∵M(jìn)關(guān)于直線AB的對稱點M′，
∴HM=HM′，
∴NM′=HN+HM，此時H點與村莊M、N的距離之和最短．

點評：此題主要考查了垂線段最短和利用軸對稱求最值問題，得出M點對稱點是解題關(guān)鍵．