Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（4，8），（0，5），過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，過(guò)OB上的動(dòng)點(diǎn)D作直線y=kx+b平行于AC，與AB相交于點(diǎn)E，連接CD，過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD交AC于點(diǎn)F．
（1）求經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在OB上移動(dòng)時(shí)，能否使四邊形CDEF為矩形？若能，求出此時(shí)k，b的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)求出解析式；
（2）先由DE∥AC，直線AC的解析式為：y=

3

4

x+5，根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)可知直線DE的斜率與直線AC的斜率相等，即k=

3

4

，故可設(shè)直線DE的解析式為：y=

3

4

x+n，用含n的代數(shù)式表示出M、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)．再假設(shè)四邊形CDEF為矩形，易證△COD∽△DOM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列出關(guān)系式，如果能夠求出符合題意的n值，說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)D在OB上移動(dòng)時(shí)，能使四邊形CDEF為矩形；否則就不能．

解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（4，8），C（0，5），
∴

4k+b=8 b=5

，
解得

k= 3 4 b=5

，
∴直線AC的解析式為：y=

3

4

x+5；

（2）∵DE∥AC，直線AC的解析式為：y=

3

4

x+5，
∴可設(shè)直線DE的解析式為：y=

3

4

x+n．
設(shè)直線DE與y軸交于點(diǎn)M，則M（0，n），D（-

4

3

n，0）．
如果四邊形CDEF為矩形，則DE⊥CD，
∴∠OCD=∠ODM=90°-∠ODC，
又∵∠COD=∠DOM，
∴△COD∽△DOM，
∴OC：OD=OD：OM，
∴OD²=OC•OM，
∴（-

4

3

n）²=5|n|，
∵n＜0，解得n=-

45

16

，
即直線DE的解析式為：y=

3

4

x-

45

16

，
故能使四邊形CDEF為矩形，此時(shí)k=

3

4

，b=-

45

16

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查運(yùn)用待定系數(shù)求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．