【題目】如圖,直線l:y=3x﹣3分別與x軸,y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,拋物線y=ax2﹣2ax+a﹣4過點(diǎn)B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)C是第四象限拋物線上一動點(diǎn),連接AC,BC.
①當(dāng)△ABC的面積最大時,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC面積的最大值;
②在①的條件下,將直線l繞著點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到直線l',l'與線段BC交于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)B,點(diǎn)C到l'的距離分別為d1和d2,當(dāng)d1+d2最大時,求直線l旋轉(zhuǎn)的角度.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)①點(diǎn)C的坐標(biāo)為(),△ABC面積的最大值為;②直線l旋轉(zhuǎn)的角度是45°
【解析】
(1)利用直線l的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo),再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值,則拋物線的解析式的解析式可求出;
(2)①設(shè)C的坐標(biāo)為(m,m2-2m-3),然后根據(jù)面積關(guān)系S△ABC=S四邊形OACB-S△AOB可求出△ABC的面積,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出△ABC面積的最大值及此時點(diǎn)C的坐標(biāo);
②如圖2,過點(diǎn)B作BN垂直于l′于N點(diǎn),過點(diǎn)C作CM垂直于l′于M點(diǎn),則BN=d1,CM=d2,可將求d1+d2最大值轉(zhuǎn)化為求AD的最小值.
(1)令x=0代入y=3x-3,
∴y=-3,
∴B(0,-3),
把B(0,-3)代入y=ax2-2ax+a-4,
∴-3=a-4,
∴a=1,
∴二次函數(shù)解析式為:y=x2-2x-3;
(2)如圖1,連結(jié)OC,
令y=0代入y=3x-3,
∴0=3x-3,
∴x=1,
∴A的坐標(biāo)為(1,0),
由題意知:C的坐標(biāo)為(m,m2-2m-3),
S△ABC=S四邊形OACB-S△AOB
=S△OBC+S△OAC-S△AOB
=,
∴當(dāng)m=時,S取得最大值,
當(dāng)m=時,m2-2m-3=53=,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(),△ABC面積的最大值為;
(3)如圖2,過點(diǎn)B作BN垂直于l′于N點(diǎn),過點(diǎn)C作CM垂直于l′于M點(diǎn),直線l'交BC于點(diǎn)D,則BN=d1,CM=d2,
∵S△ABC=×AD×(d1+d2)
當(dāng)d1+d2取得最大值時,AD應(yīng)該取得最小值,當(dāng)AD⊥BC時取得最小值.
根據(jù)B(0,-3)和C()可得BC= ,
∵S△ABC= ,
∴AD=,
當(dāng)AD⊥BC時,cos∠BAD= ,
∴∠BAD=45°.
即直線l旋轉(zhuǎn)的角度是45°.
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于圓O ,AD、BC的延長線相交于點(diǎn)E,AB、DC的延長線相交于點(diǎn)F.
(1)若∠E=500, ∠F=400,求∠A的度數(shù).
(2)探究∠E、∠F、∠A的關(guān)系并證明.
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【題目】已知銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O,AD⊥BC,垂足為D.
(1)如圖1, ,BD=DC,求∠B的度數(shù);
(2)如圖2,BE⊥AC,垂足為E,BE交AD于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BG∥AD交⊙O于點(diǎn)G,在AB邊上取一點(diǎn)H,使得AH=BG.求證:△AFH是等腰三角形.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=6,D為邊AB上一動點(diǎn)(不與B點(diǎn)重合),連接CD,將線段CD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到DE,連接BE,則S△BDE的最大值為_____.
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【題目】密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳,當(dāng)容器的體積V(單位:m3)變化時,氣體的密度ρ(單位:kg/m3)隨之變化,已知密度ρ與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系,它的圖象如圖所示.
(1)求密度ρ關(guān)于體積V的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)密度ρ不低于4kg/m3時,求二氧化碳體積的取值范圍。
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【題目】在“測量物體的高度” 活動中,某數(shù)學(xué)興趣小組的3名同學(xué)選擇了測量學(xué)校里的三棵樹的高度.在同一時刻的陽光下,他們分別做了以下工作:
小芳:測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米,甲樹的影長為4米(如圖1).
小華:發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上(如圖2),墻壁上的影長為1.2米,落在地面上的影長為2.4米.
小麗:測量的丙樹的影子除落在地面上外,還有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上(如圖3),測得此影子長為0.3米,一級臺階高為0.3米,落在地面上的影長為4.5米.
(1)在橫線上直接填寫甲樹的高度為 米.
(2)求出乙樹的高度.
(3)請選擇丙樹的高度為( )
A、6.5米 B、5. 5米 C、6.3米 D、4.9米
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【題目】國務(wù)院辦公廳在2015年3月16日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總體方案》,這是中國足球史上的重大改革,為進(jìn)一步普及足球知識,傳播足球文化,我市某區(qū)在中小學(xué)舉行了“足球在身邊”知識競賽,各類獲獎學(xué)生人數(shù)的比例情況如圖所示,其中獲得三等獎的學(xué)生共50名,請結(jié)合圖中信息,解答下列問題:
(1)獲得一等獎的學(xué)生人數(shù);
(2)在本次知識競賽活動中,A,B,C,D四所學(xué)校表現(xiàn)突出,現(xiàn)決定從這四所學(xué)校中隨機(jī)選取兩所學(xué)校舉行一場足球友誼賽,請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好選到A,B兩所學(xué)校的概率.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,BC=4,將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形A′B′C′D'.設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α,此時點(diǎn)B′恰好落在邊AD上,連接B'B.
(1)當(dāng)B'恰好是AD中點(diǎn)時,此時α= ;
(2)若∠AB'B=75°,求旋轉(zhuǎn)角α及AB的長.
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