Question

已知如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，OA=

3

，OC=2

3

，射線y=

3

3

x交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)O沿O→C→B→A方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O沿射線OD方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，△OPQ與矩形OABC重合部分的面積為S（平方單位），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），回答下列問題：
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜t≤2

3

時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥x軸？
（4）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M（

3

2

，

3

）在△OPQ外部時(shí)，t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)tan∠DOA=

3

3

，可得∠DOA的度數(shù)，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠QAP的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形的判定，可得△OPQ的形狀，根據(jù)等邊三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得答案；
（4）分類討論：PQ不經(jīng)過M點(diǎn)，可得答案；直線OM與AB的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于直線AP與AB交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)x=

3

時(shí)，y=

3

3

×

3

=1，
D點(diǎn)坐標(biāo)是（

3

，1）；
（2）tan∠DOA=

DA

OA

=

3

3

，得∠DOA=30°．
由余角的性質(zhì)，得∠POQ=60°，
OP=OQ，得
當(dāng)0＜t≤2

3

，△OPQ是等邊三角形，
S=

3

4

t²；
（3）由題意，得y_p=y_q時(shí)，PQ∥x軸，
即2

3

-（t-3

3

）=

t

2

，
解得t=

10 3

3

，
當(dāng)t=

10 3

3

時(shí)，PQ∥x軸；
（4）直線PQ y=-

3

3

x+t，直線PQ過點(diǎn)M時(shí)，
-

3

3

×

3

2

+t=

3

，解得t=

3 +1

2

，
0＜t＜

3 +1

2

時(shí)，點(diǎn)M（

3

2

，

3

）在△OPQ外部；
直線OM y=2x，當(dāng)x=

3

時(shí)，y=2

3

，
當(dāng)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于2

3

時(shí)，即行駛超過3

3

秒時(shí)，點(diǎn)M（

3

2

，

3

）在△OPQ外部，
綜上所述：當(dāng)0＜t＜

3 +1

2

，或t＞3

3

時(shí)，點(diǎn)M（

3

2

，

3

）在△OPQ外部．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，利用了求函數(shù)值，等邊三角形的性質(zhì)，函數(shù)的交點(diǎn)問題，綜合性較強(qiáng)，題目稍有難度．