Question

如圖，正方形ABCD和正方形AGFE，連結(jié)DE、BG，且∠DAE＜45°．
（1）填空：∠DAB=∠EAG=

 

°；
（2）連結(jié)AC、EG，AC交EF于P，AB交GF于Q，連結(jié)PQ．
①若PQ∥EG，求證：∠PAE=∠QAG；
②若正方形AGFE的邊長為a，求△PFQ的周長（用含有a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形各內(nèi)角為90°即可解題；
（2）①易證EP=GQ，即可證明△EAP≌△GAQ，可得∠PAE=∠QAG，即可解題；
②易證∠BAG=∠DAE，即可證明△DAE≌△BAG，可得∠DAE=∠BAG，根據(jù)①中結(jié)論可得∠BAG=22.5°，即可求得FQ的值，易證△PFQ為等腰直角三角形，即可求得△PFQ的周長=（2+

2

）FQ，即可解題．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AGFE均為正方形，
∴∠DAB=∠EAG=90°，
故答案為 90°；
（2）①∵PQ∥EG，
∴

GQ

FG

=

EP

EF

，
∵EF=FG，
∴EP=GQ，
在△EAP和△GAQ中，

EP=GQ ∠AEP=∠AGQ=90° AE=AG

，
∴△EAP≌△GAQ，
∴∠PAE=∠QAG；
②∵∠DAE+∠EAB=90°，∠BAG+∠EAB=90°，
∴∠BAG=∠DAE，
在△DAE和△BAG中，

AD=AB ∠BAG=∠DAE AE=AG

，
∴△DAE≌△BAG（SAS），
∴∠DAE=∠BAG，
∵∠PAE=∠QAG，
∴∠DAE=∠PAE，
∵∠DAE+∠PAE=∠DAC=45°，
∴∠BAG=22.5°，
∴GQ=AG•tan22.5°=（

2

-1）a，
∴FQ=a-（

2

-1）a=（2-

2

）a，
∵PQ∥EG，
∴△PFQ為等腰直角三角形，
∴PQ=

2

FQ，PF=FQ，
∴△PFQ的周長=FQ+PF+PQ=（2+

2

）FQ=（2+

2

）（2-

2

）a=2a．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了特殊角的三角函數(shù)值，考查了正方形的性質(zhì)，本題中求證△DAE≌△BAG是解題的關(guān)鍵．