Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD，E是BC上一點(diǎn)，∠AED=90°，AB=6，SIN∠AEB=

3

5

，矩形ABCD的點(diǎn)B與O重合，BC在x軸上，現(xiàn)有一張硬紙片△MGN，∠MGN=90°，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)G在ED上，NG=3，N與E重合．現(xiàn)將△MGN以每秒1個(gè)單位的速度沿EB方向在x軸上勻速移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿AD方向向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q為直線(xiàn)GN與線(xiàn)段AE的交點(diǎn)，連接QP，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)D時(shí)，△MGN和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間x秒．
（1）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，求該反比例函數(shù)的解析式．
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△MGN與△ABE重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍．
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使△APQ為等腰三角形，若存在，求出x的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專(zhuān)題：壓軸題,分類(lèi)討論

分析：（1）在Rt△ABE中運(yùn)用三角函數(shù)的定義就可求出BE、AE，易證△ABE∽△ECD，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出EC，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問(wèn)題；
（2）易證△ABE∽△NGM，從而可求出GM、MN、S_△MGN，由于在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△MGN與△ABE重疊部分的形狀發(fā)生變化，可結(jié)合臨界位置分四種情況（①0＜x≤5，②5＜x≤8，③8＜x≤

49

5

，④

49

5

＜x≤

25

2

）進(jìn)行討論，然后只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題；
（3）由于△APQ為等腰三角形，因此可分三種情況（①AP=AQ，②PA=PQ，③QA=QP）討論，然后只需運(yùn)用等腰三角形及相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖1，
在Rt△ABE中，sin∠AEB=

AB

AE

=

3

5

，
∵AB=6，∴AE=10，BE=8．
∵∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°．
∵∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠DEC．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC=6，∠DCB=∠ABC=90°，
∴△ABE∽△ECD，
∴

AB

BE

=

EC

CD

，
∴

6

8

=

EC

6

，
∴EC=

9

2

，
∴AD=BC=BE+EC=8+

9

2

=

25

2

，
∴D（

25

2

，6）．
設(shè)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，
則k=

25

2

×6=75，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

75

x

．

（2）如圖1，
∵∠GNM=∠BAE，∠ABE=∠NGM=90°，
∴△ABE∽△NGM，
∴

AB

NG

=

AE

NM

=

BE

GM

，
∴

6

3

=

10

NM

=

8

GM

，
∴NM=5，GM=4，
∴S_△MGN=

1

2

×3×4=6．
①當(dāng)0＜x≤5時(shí)，如圖2．

由平移得：AE∥GM，
∴△NQE∽△NGM，
∴

S△NQE

S△NGM

=（

NE

NM

）²，
∴

y

6

=（

x

5

）²=

x2

25

，
∴y=

6

25

x²；
②當(dāng)5＜x≤8，如圖3．

y=S_△MGN=6．
③當(dāng)8＜x≤

49

5

時(shí)，如圖4，

則NB=NE-BE=x-8．
∵∠HNB=∠MNG，∠NBH=∠G=90°，
∴△NBH∽△NGM，
∴

S△NBH

S△MGN

=（

NB

GN

）²=（

x-8

3

）²，
∴S_△NBH=6×

(x-8)2

9

=

2

3

x²-

32

3

x+

128

3

，
∴y=6-（

2

3

x²-

32

3

x+

128

3

）=-

2

3

x²+

32

3

x-

110

3

；
④

49

5

＜x≤

25

2

，如圖5，

則有BM=MN-NB=5-（x-8）=13-x．
∵∠HMB=∠NMG，∠HBM=∠G=90°，
∴△MBH∽△MGN，
∴

S△MBH

S△MGN

=（

BM

GM

）²=（

13-x

4

）²，
∴y=6×

(13-x)2

16

=

3

8

x²-

39

4

x+

507

8

．


（3）如圖2，
∵O＜x≤

25

2

，AP=x，NE=x，
∴NQ=NE•sin∠QEN=

3

5

x，
∴EQ=

NE2-NQ2

=

4

5

x，
∴AQ=AE-QE=10-

4

5

x．
①當(dāng)AP=AQ時(shí)，x=10-

4

5

x，
∴x=

50

9

；
②當(dāng)PA=PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AQ于點(diǎn)K，
則AK=KQ=

1

2

AQ=5-

2

5

x．
∵AD∥BC，∴∠PAK=∠AEB．
∵∠AKP=∠ABE=90°，
∴△AKP∽△EBA，
∴

AK

EB

=

AP

EA

，
∴

5- 2 5 x

8

=

x

10

，
∴x=

25

6

．
③當(dāng)QA=QP時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AP于W，如圖3，
則有AW=WP=

1

2

AP=

1

2

x．
∵∠WAQ=∠AEB，∠AWQ=∠ABE=90°，
∴△AWQ∽△EBA，
∴

AW

EB

=

AQ

EA

，
∴

1 2 x

8

=

10- 4 5 x

10

，
∴x=

400

57

，
綜上所述：存在點(diǎn)P，使△APQ為等腰三角形，x的值為

50

9

、

25

6

、

400

57

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)臨界位置進(jìn)行分類(lèi)，并運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)建立關(guān)于x的方程．