Question

對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0的兩個(gè)根分別為a_n、b_n，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，A_n、B_n兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A_n（a_n，0），B_n（b_n，0），A_nB_n表示這兩點(diǎn)間的距離，則A_nB_n=

1

n(n+1)

（用含n的代數(shù)式表示）；A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₂B₂₀₁₂的值為

2011

2012

．

Answer 1

分析：由于關(guān)于x的一元二次方程x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0的兩個(gè)根分別為a_n、b_n，可知，二次函數(shù)y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸的交點(diǎn)間的距離為

△

|a|

，據(jù)此求出A_nB_n的表達(dá)式，然后令n=1，n=2，…，據(jù)此列出A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₂B₂₀₁₂的表達(dá)式，計(jì)算即可．

解答：解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0的兩個(gè)根分別為a_n、b_n，
∴A_nB_n=

[ 2n+1 n(n+1) ]2-4 1 n(n+1)

1

=

4n2+1+4n n2(n+1)2 - 4n(n+1) n2(n+1)2

=

1

n(n+1)

；

∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₂B₂₀₁₂
=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2011×2012

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

．
故答案為

1

n(n+1)

、

2011

2012

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，以及二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)間的距離公式，同時(shí)要進(jìn)行規(guī)律探究，難度較大．