【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C,該拋物線的頂點為M.
(1)求該拋物線的解析式及點M的坐標;
(2)判斷△BCM的形狀,并說明理由;
(3)探究坐標軸上是否存在點P,使得以點P、A、C為頂點的三角形與△BCM相似?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)△BCM為直角三角形;(3)符合條件的點有三個:O(0,0),P1(0,),P2(9,0).
【解析】
試題分析:(1)已知拋物線圖象上的三點坐標,可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式;
(2)根據(jù)B、C、M的坐標,可求得△BCM三邊的長,然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可;
(3)假設存在符合條件的P點;首先連接AC,根據(jù)A、C的坐標及(2)題所得△BDC三邊的比例關系,即可判斷出點O符合P點的要求,因此以P、A、C為頂點的三角形也必與△COA相似,那么分別過A、C作線段AC的垂線,這兩條垂線與坐標軸的交點也符合點P點要求,可根據(jù)相似三角形的性質(或射影定理)求得OP的長,也就得到了點P的坐標.
解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,
∴,
解得:,
則拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)△BCM為直角三角形,理由為:
對于拋物線解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,即頂點M坐標為(1,﹣4),
令x=0,得到y(tǒng)=﹣3,即C(0,﹣3),
根據(jù)勾股定理得:BC=3,BM=2,CM=,
∵BM2=BC2+CM2,
∴△BCM為直角三角形;
(3)若∠APC=90°,即P點和O點重合,如圖1,
連接AC,
∵∠AOC=∠MCB=90°,且=,
∴Rt△AOC∽Rt△MCB,
∴此時P點坐標為(0,0).
若P點在y軸上,則∠PAC=90°,如圖2,過A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1,
∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM,
∴=,
即=,
∴點P1(0,).
若P點在x軸上,則∠PCA=90°,如圖3,過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2,
∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM,
∴=,
即=,AP2=10,
∴點P2(9,0).
∴符合條件的點有三個:O(0,0),P1(0,),P2(9,0).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(-1,-5),且與正比例函數(shù)的圖象相交于點(2,a).
(1)求a的值.
(2)求一次函數(shù)y=kx+b的表達式.
(3)在同一坐標系中,畫出這兩個函數(shù)的圖象.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,點B、F、C、E在同一直線上,AC、DF相交于點G,AB⊥BE,垂足為B,DE⊥BE,垂足為E,且AB=DE,BF=CE。
求證:(1)△ABC≌△DEF;
(2)GF=GC。
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