Question

如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點，PA=1，PB=2，PC=3，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時針旋轉(zhuǎn)，使點A與點C重合，這時P點旋轉(zhuǎn)至G點，試畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，然后猜一猜△PCG的形狀，并說明理由，最后算一算∠APB的度數(shù)．

Answer 1

解：△PCG是直角三角形．
理由：如圖，連接PG，
∵△BCG是△ABP順時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴CG=AP=1，BG=PB=2，
又∵旋轉(zhuǎn)后A與C重合∠ABC=90°，
∴∠PBG=90°，
在Rt△PBG中，PG===2，
又∵（2）²+1²=3²=9，
即PG²+CG²=PC²，
∴△PCG是直角三角形；
∵PG²+CG²=PC²，
∴∠PGC=90°，
又∵PB=PG，∠PBG=90°，
∴∠PGB=45°，
∴∠BGC=∠PGC+∠PGB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠BGC=135°．
分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CG=PA，BG=PB，再判斷出△PBG是等腰直角三角形，然后利用勾股定理列式求出PG，再利用勾股定理逆定理判斷出△PCG是直角三角形；先求出∠BGC的度數(shù)，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得∠APB=∠BGC即可得解．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理逆定理的應用，熟記旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．