Question

如圖，B、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是一元二次方程-

1

4

x²+

3

2

x+4=0的兩個(gè)跟，且A（0，4），點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AC．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

；
（2）求直線AC的解析式；
（3）線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求出方程的解即可；
（2）設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，把A、C的坐標(biāo)代入即可求出答案；
（3）分為三種情況：①CE=CD，②CD=CE，③DE=CE，畫出圖形，結(jié)合圖形證相似，得出比例式，即可求出答案．

解答：解：（1）解方程-

1

4

x²+

3

2

x+4=0得：x₁=-2，x₂=8，
即B的坐標(biāo)是（-2，0），C的坐標(biāo)是（8，0），
故答案為：（-2，0），（8，0）；

（2）設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，
把A、C的坐標(biāo)代入得：

4=b 0=8k+b

，
解得：k=-

1

2

，b=4，
即直線AC的解析式是y=-

1

2

x+4；

（3）
線段AC上存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形，
理由是：∵B（-2，0），C（8，0），
∴BC=10，
∵D為BC中點(diǎn)，
∴BD=DC=5，OD=8-5=3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=5，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC=

42+82

=4

5

，

①當(dāng)E和A重合時(shí)，DE=DC=5，△EDC為等腰三角形，此時(shí)E的坐標(biāo)是（0，4）；
②以C為圓心，以CD為半徑作弧交線段AC于E₂，此時(shí)CD=CE₂，△EDC為等腰三角形，
過E₂作E₂M⊥BC于M，
∵∠CME₂=∠COA=90°，∠ACO=∠ACO，
∴△CME₂∽△COA，
∴

CE2

CA

=

ME2

OA

=

CM

OC

，
∴

5

4 5

=

ME2

4

=

CM

8

，
∴ME₂=

5

，CM=2

5

，
∴OM=8-2

5

，
即此時(shí)E的坐標(biāo)是（8-2

5

，

5

）；
③作線段CD的垂直平分線交線段AC于E₃，則此時(shí)DE₃=CE₃，△EDC為等腰三角形，
CN=

1

2

CD=2.5，ON=8-2.5=5.5，
∵△AOC∽△E₃NC，
∴

NE3

AO

=

CN

OC

，
∴

NE3

4

=

2.5

8

，
∴NE₃=1.25，
即此時(shí)E的坐標(biāo)是（5.5，1.25）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定，解一元二次方程的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．