Question

【題目】（1）操作思考：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角的直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，將其繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若頂點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處．則①的長為______；②點(diǎn)的坐標(biāo)為______（直接寫結(jié)果）

（2）感悟應(yīng)用：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，將等腰直角如圖放置，直角頂點(diǎn)，點(diǎn)，試求直線的函數(shù)表達(dá)式．

（3）拓展研究：如圖3，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，作軸，垂足為點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)．問是否存在以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角，若存在，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理可得OA長，由對應(yīng)邊相等可得B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）通過證明得出點(diǎn)B坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為，可通過證三角形全等的性質(zhì)可得a的值，由Q點(diǎn)坐標(biāo)可間接求出P點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）如圖1，作軸于F，軸于E.

由A點(diǎn)坐標(biāo)可知

在中，根據(jù)勾股定理可得；

為等腰直角三角形

軸于F，軸于E

又

所以B點(diǎn)坐標(biāo)為：

（2）如圖，過點(diǎn)作軸．

為等腰直角三角形

軸

又

∴，

∴，

∴．

設(shè)直線的表達(dá)式為

將和代入，得

，

解得，

∴直線的函數(shù)表達(dá)式．

（3）如圖3，分兩種情況，點(diǎn)Q可在x軸下方和點(diǎn)Q在x軸上方

設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為，點(diǎn)P坐標(biāo)為

當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，連接，過點(diǎn)作 交其延長線于M，則M點(diǎn)坐標(biāo)為

為等腰直角三角形

又

由題意得

，

解得 ，所以

當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，連接，過點(diǎn)作 交其延長線于N，則N點(diǎn)坐標(biāo)為

同理可得,

由題意得

，

解得 ，所以

綜上的坐標(biāo)為：．