【題目】如圖1,在矩形ABCDAB=4, BC=8,E、FBCAD上的點,且BE=DF.

(1)求證:四邊形AECF是平行四邊形.

(2)如果四邊形AECF是菱形,求這個菱形的邊長.

(3)如圖2,(2)的條件下,取AB、CD的中點G、H,連接DG、BH, DG分別交AE、CF于點M、Q, BH分別交AE、CF于點NP,求點PBC的距離并直接寫出四邊形MNPQ的面積。

【答案】1)見解析;(2)菱形AECF的邊長為5;(3)距離為,面積為

【解析】

1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得ADBC,AD=BC,又BE=DF,所以AFEC,AF=EC,從而可得四邊形AECF為平行四邊形;

2)設(shè)菱形AECF的邊長為x,依據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE=EC=x,BE=8x,在RtABE中運用勾股定理可求解;

3)先由中位線的性質(zhì)得出CH=2OH=1.5,再證明PQH∽△PCB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出hw的值,再求出四邊形MNPQ的面積即可.

1)證明:∵四邊形ABCD為矩形,BE=DF,

ADBCAD=BC,

AFECAF=EC,

∴四邊形AECF為平行四邊形.

2)解:設(shè)菱形AECF的邊長為x

∵四邊形AECF為菱形,AB=4BC=8,

AE=EC=x,BE=8x,

RtABE中,AE2=AB2+BE2x2=42+8x2,

解得x=5,

∴菱形AECF的邊長為5.

3)連接GHFC于點O,設(shè)點PBC的距離為h,

G、H分別為ABCD的中點,

OHCDF的中位線,CH=2,

∴△POH∽△PCB

DF=85=3,

QH=1.5,

,解得h=

PBC的距離可得NBC的距離為,四邊形NECP的面積為,菱形面積為5×4=20;

∴四邊形MNPQ面積為=菱形AECF的面積-四邊形NECP的面積×2=20-×2=

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